Riješi y=e^x(Acosx+bsinx

$$y = e ^ { x } ( A \cos x + b \sin x$$

Izračunaj A (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}A=-\frac{-2y+ibe^{\left(1-i\right)x}-ibe^{\left(1+i\right)x}}{e^{\left(1-i\right)x}+e^{\left(1+i\right)x}}\text{, }&e^{\left(1-i\right)x}+e^{\left(1+i\right)x}\neq 0\text{ and }2e^{\left(1-i\right)x}+2e^{\left(1+i\right)x}\neq 0\\A\in \mathrm{C}\text{, }&y=\frac{ibe^{\left(1-i\right)x}-ibe^{\left(1+i\right)x}}{2}\text{ and }2e^{\left(1-i\right)x}+2e^{\left(1+i\right)x}=0\end{matrix}\right,$$

Koraci rješavanja linearne jednadžbe

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili e^{x} s A\cos(x)+b\sin(x).

$$y=e^{x}A\cos(x)+e^{x}b\sin(x)$$

Zamijenite strane tako da svi izrazi s nepoznanicama budu s lijeve strane.

$$e^{x}A\cos(x)+e^{x}b\sin(x)=y$$

Oduzmite e^{x}b\sin(x) od obiju strana.

$$e^{x}A\cos(x)=y-e^{x}b\sin(x)$$

Jednadžba je u standardnom obliku.

$$\cos(x)e^{x}A=-b\sin(x)e^{x}+y$$

Podijelite obje strane sa e^{x}\cos(x).

$$\frac{\cos(x)e^{x}A}{\cos(x)e^{x}}=\frac{-b\sin(x)e^{x}+y}{\cos(x)e^{x}}$$

Dijeljenjem s e^{x}\cos(x) poništava se množenje s e^{x}\cos(x).

$$A=\frac{-b\sin(x)e^{x}+y}{\cos(x)e^{x}}$$

Podijelite y-e^{x}b\sin(x) s e^{x}\cos(x).

$$A=\frac{\frac{y}{e^{x}}-b\sin(x)}{\cos(x)}$$

Izračunaj b (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}b=-\frac{Ae^{\left(1+i\right)x}+Ae^{\left(1-i\right)x}-2y}{ie^{\left(1-i\right)x}-ie^{\left(1+i\right)x}}\text{, }&ie^{\left(1-i\right)x}-ie^{\left(1+i\right)x}\neq 0\text{ and }\nexists n_{1}\in \mathrm{Z}\text{ : }x=\pi n_{1}\text{ and }2e^{\left(1+i\right)x}-2e^{\left(1-i\right)x}\neq 0\\b\in \mathrm{C}\text{, }&y=\frac{A\left(e^{\left(1-i\right)x}+e^{\left(1+i\right)x}\right)}{2}\text{ and }\left(\left(y=\frac{A\left(e^{\left(1-i\right)x}+e^{\left(1+i\right)x}\right)}{2}\text{ and }ie^{\left(1-i\right)x}-ie^{\left(1+i\right)x}=0\text{ and }\nexists n_{1}\in \mathrm{Z}\text{ : }x=\pi n_{1}\right)\text{ or }2e^{\left(1+i\right)x}-2e^{\left(1-i\right)x}=0\right)\end{matrix}\right,$$

Koraci rješavanja linearne jednadžbe

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili e^{x} s A\cos(x)+b\sin(x).

$$y=e^{x}A\cos(x)+e^{x}b\sin(x)$$

Zamijenite strane tako da svi izrazi s nepoznanicama budu s lijeve strane.

$$e^{x}A\cos(x)+e^{x}b\sin(x)=y$$

Oduzmite e^{x}A\cos(x) od obiju strana.

$$e^{x}b\sin(x)=y-e^{x}A\cos(x)$$

Jednadžba je u standardnom obliku.

$$\sin(x)e^{x}b=-A\cos(x)e^{x}+y$$

Podijelite obje strane sa e^{x}\sin(x).

$$\frac{\sin(x)e^{x}b}{\sin(x)e^{x}}=\frac{-A\cos(x)e^{x}+y}{\sin(x)e^{x}}$$

Dijeljenjem s e^{x}\sin(x) poništava se množenje s e^{x}\sin(x).

$$b=\frac{-A\cos(x)e^{x}+y}{\sin(x)e^{x}}$$

Podijelite y-e^{x}A\cos(x) s e^{x}\sin(x).

$$b=\frac{\frac{y}{e^{x}}-A\cos(x)}{\sin(x)}$$

Izračunaj A

$$\left\{\begin{matrix}A=\frac{-b\sin(x)e^{x}+y}{\cos(x)e^{x}}\text{, }&\nexists n_{1}\in \mathrm{Z}\text{ : }x=\pi n_{1}+\frac{\pi }{2}\\A\in \mathrm{R}\text{, }&y=b\sin(x)e^{x}\text{ and }\exists n_{1}\in \mathrm{Z}\text{ : }x=\frac{\pi \left(2n_{1}+1\right)}{2}\end{matrix}\right,$$

Koraci rješavanja linearne jednadžbe

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili e^{x} s A\cos(x)+b\sin(x).

$$y=e^{x}A\cos(x)+e^{x}b\sin(x)$$

Zamijenite strane tako da svi izrazi s nepoznanicama budu s lijeve strane.

$$e^{x}A\cos(x)+e^{x}b\sin(x)=y$$

Oduzmite e^{x}b\sin(x) od obiju strana.

$$e^{x}A\cos(x)=y-e^{x}b\sin(x)$$

Jednadžba je u standardnom obliku.

$$\cos(x)e^{x}A=-b\sin(x)e^{x}+y$$

Podijelite obje strane sa e^{x}\cos(x).

$$\frac{\cos(x)e^{x}A}{\cos(x)e^{x}}=\frac{-b\sin(x)e^{x}+y}{\cos(x)e^{x}}$$

Dijeljenjem s e^{x}\cos(x) poništava se množenje s e^{x}\cos(x).

$$A=\frac{-b\sin(x)e^{x}+y}{\cos(x)e^{x}}$$

Podijelite y-e^{x}b\sin(x) s e^{x}\cos(x).

$$A=\frac{\frac{y}{e^{x}}-b\sin(x)}{\cos(x)}$$

Izračunaj b

$$\left\{\begin{matrix}b=\frac{-A\cos(x)e^{x}+y}{\sin(x)e^{x}}\text{, }&\nexists n_{1}\in \mathrm{Z}\text{ : }x=\pi n_{1}\\b\in \mathrm{R}\text{, }&y=A\cos(x)e^{x}\text{ and }\exists n_{1}\in \mathrm{Z}\text{ : }x=\pi n_{1}\end{matrix}\right,$$

Koraci rješavanja linearne jednadžbe

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili e^{x} s A\cos(x)+b\sin(x).

$$y=e^{x}A\cos(x)+e^{x}b\sin(x)$$

Zamijenite strane tako da svi izrazi s nepoznanicama budu s lijeve strane.

$$e^{x}A\cos(x)+e^{x}b\sin(x)=y$$

Oduzmite e^{x}A\cos(x) od obiju strana.

$$e^{x}b\sin(x)=y-e^{x}A\cos(x)$$

Jednadžba je u standardnom obliku.

$$\sin(x)e^{x}b=-A\cos(x)e^{x}+y$$

Podijelite obje strane sa e^{x}\sin(x).

$$\frac{\sin(x)e^{x}b}{\sin(x)e^{x}}=\frac{-A\cos(x)e^{x}+y}{\sin(x)e^{x}}$$

Dijeljenjem s e^{x}\sin(x) poništava se množenje s e^{x}\sin(x).

$$b=\frac{-A\cos(x)e^{x}+y}{\sin(x)e^{x}}$$

Podijelite y-e^{x}A\cos(x) s e^{x}\sin(x).

$$b=\frac{\frac{y}{e^{x}}-A\cos(x)}{\sin(x)}$$