Riješi y=2x-1text{and}2x+y=3

$$y = 2 x - 1 \text { and } 2 x + y = 3$$

Izračunaj y, x

$$x=1$$

$$y=1$$

Koraci korištenja supstitucije

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Oduzmite 2x od obiju strana.

$$y-2x=-1$$

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za y tako da izdvojite y s lijeve strane znaka jednakosti.

$$y-2x=-1$$

Dodajte 2x objema stranama jednadžbe.

$$y=2x-1$$

Supstituirajte 2x-1 s y u drugoj jednadžbi, y+2x=3.

$$2x-1+2x=3$$

Dodaj 2x broju 2x.

$$4x-1=3$$

Dodajte 1 objema stranama jednadžbe.

$$4x=4$$

Podijelite obje strane sa 4.

$$x=1$$

Supstituirajte 1 s x u izrazu y=2x-1. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati y.

$$y=2-1$$

Dodaj -1 broju 2.

$$y=1$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$y=1,x=1$$

Koraci korištenja matrica

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Oduzmite 2x od obiju strana.

$$y-2x=-1$$

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice y i x.

$$y=1,x=1$$

Koraci korištenja eliminacije

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Oduzmite 2x od obiju strana.

$$y-2x=-1$$

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Oduzmite y+2x=3 od y-2x=-1 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$y-y-2x-2x=-1-3$$

Dodaj y broju -y. Uvjeti y i -y se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$-2x-2x=-1-3$$

Dodaj -2x broju -2x.

$$-4x=-1-3$$

Dodaj -1 broju -3.

$$-4x=-4$$

Podijelite obje strane sa -4.

$$x=1$$

Supstituirajte 1 s x u izrazu y+2x=3. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati y.

$$y+2=3$$

Oduzmite 2 od obiju strana jednadžbe.

$$y=1$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$y=1,x=1$$