Riješi y=2xtext{and}2y=-x

$$y = 2 x \text { and } 2 y = - x$$

Izračunaj y, x

$$x=0$$

$$y=0$$

Koraci korištenja supstitucije

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Oduzmite 2x od obiju strana.

$$y-2x=0$$

Pojednostavnite drugu jednadžbu. Dodajte x na obje strane.

$$2y+x=0$$

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$y-2x=0,2y+x=0$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za y tako da izdvojite y s lijeve strane znaka jednakosti.

$$y-2x=0$$

Dodajte 2x objema stranama jednadžbe.

$$y=2x$$

Supstituirajte 2x s y u drugoj jednadžbi, 2y+x=0.

$$2\times 2x+x=0$$

Pomnožite 2 i 2x.

$$4x+x=0$$

Dodaj 4x broju x.

$$5x=0$$

Podijelite obje strane sa 5.

$$x=0$$

Supstituirajte 0 s x u izrazu y=2x. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati y.

$$y=0$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$y=0,x=0$$

Koraci korištenja matrica

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Oduzmite 2x od obiju strana.

$$y-2x=0$$

Pojednostavnite drugu jednadžbu. Dodajte x na obje strane.

$$2y+x=0$$

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$y-2x=0,2y+x=0$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice y i x.

$$y=0,x=0$$

Koraci korištenja eliminacije

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Oduzmite 2x od obiju strana.

$$y-2x=0$$

Pojednostavnite drugu jednadžbu. Dodajte x na obje strane.

$$2y+x=0$$

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$y-2x=0,2y+x=0$$

Da biste izjednačili y i 2y, pomnožite sve izraze s obje strane prve jednadžbe s 2 i sve izraze s obje strane druge jednadžbe s 1.

$$2y+2\left(-2\right)x=0,2y+x=0$$

Pojednostavnite.

$$2y-4x=0,2y+x=0$$

Oduzmite 2y+x=0 od 2y-4x=0 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$2y-2y-4x-x=0$$

Dodaj 2y broju -2y. Uvjeti 2y i -2y se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$-4x-x=0$$

Dodaj -4x broju -x.

$$-5x=0$$

Podijelite obje strane sa -5.

$$x=0$$

Supstituirajte 0 s x u izrazu 2y+x=0. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati y.

$$2y=0$$

Podijelite obje strane sa 2.

$$y=0$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$y=0,x=0$$