Riješi y=2x+1text{and}x+y=7

$$y = 2 x + 1 \text { and } x + y = 7$$

Izračunaj y, x

$$x=2$$

$$y=5$$

Koraci korištenja supstitucije

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Oduzmite 2x od obiju strana.

$$y-2x=1$$

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za y tako da izdvojite y s lijeve strane znaka jednakosti.

$$y-2x=1$$

Dodajte 2x objema stranama jednadžbe.

$$y=2x+1$$

Supstituirajte 2x+1 s y u drugoj jednadžbi, y+x=7.

$$2x+1+x=7$$

Dodaj 2x broju x.

$$3x+1=7$$

Oduzmite 1 od obiju strana jednadžbe.

$$3x=6$$

Podijelite obje strane sa 3.

$$x=2$$

Supstituirajte 2 s x u izrazu y=2x+1. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati y.

$$y=2\times 2+1$$

Pomnožite 2 i 2.

$$y=4+1$$

Dodaj 1 broju 4.

$$y=5$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$y=5,x=2$$

Koraci korištenja matrica

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Oduzmite 2x od obiju strana.

$$y-2x=1$$

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 7\\-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice y i x.

$$y=5,x=2$$

Koraci korištenja eliminacije

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Oduzmite 2x od obiju strana.

$$y-2x=1$$

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Oduzmite y+x=7 od y-2x=1 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$y-y-2x-x=1-7$$

Dodaj y broju -y. Uvjeti y i -y se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$-2x-x=1-7$$

Dodaj -2x broju -x.

$$-3x=1-7$$

Dodaj 1 broju -7.

$$-3x=-6$$

Podijelite obje strane sa -3.

$$x=2$$

Supstituirajte 2 s x u izrazu y+x=7. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati y.

$$y+2=7$$

Oduzmite 2 od obiju strana jednadžbe.

$$y=5$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$y=5,x=2$$