Riješi y=4/3x-28/3;quady=2x+8

$$y = \frac { 4 } { 3 } x - \frac { 28 } { 3 } ; \quad y = 2 x + 8$$

Izračunaj y, x

$$x=-26$$

$$y=-44$$

Koraci korištenja supstitucije

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Oduzmite \frac{4}{3}x od obiju strana.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Pojednostavnite drugu jednadžbu. Oduzmite 2x od obiju strana.

$$y-2x=8$$

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za y tako da izdvojite y s lijeve strane znaka jednakosti.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Dodajte \frac{4x}{3} objema stranama jednadžbe.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}$$

Supstituirajte \frac{-28+4x}{3} s y u drugoj jednadžbi, y-2x=8.

$$\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}-2x=8$$

Dodaj \frac{4x}{3} broju -2x.

$$-\frac{2}{3}x-\frac{28}{3}=8$$

Dodajte \frac{28}{3} objema stranama jednadžbe.

$$-\frac{2}{3}x=\frac{52}{3}$$

Podijelite obje strane jednadžbe s -\frac{2}{3}, što je isto kao da pomnožite obje strane recipročnim razlomkom.

$$x=-26$$

Supstituirajte -26 s x u izrazu y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati y.

$$y=\frac{4}{3}\left(-26\right)-\frac{28}{3}$$

Pomnožite \frac{4}{3} i -26.

$$y=\frac{-104-28}{3}$$

Dodajte -\frac{28}{3} broju -\frac{104}{3} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$y=-44$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$y=-44,x=-26$$

Koraci korištenja matrica

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Oduzmite \frac{4}{3}x od obiju strana.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Pojednostavnite drugu jednadžbu. Oduzmite 2x od obiju strana.

$$y-2x=8$$

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&-\frac{-\frac{4}{3}}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\\frac{3}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-\frac{28}{3}\right)-2\times 8\\\frac{3}{2}\left(-\frac{28}{3}\right)-\frac{3}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-44\\-26\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice y i x.

$$y=-44,x=-26$$

Koraci korištenja eliminacije

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Oduzmite \frac{4}{3}x od obiju strana.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Pojednostavnite drugu jednadžbu. Oduzmite 2x od obiju strana.

$$y-2x=8$$

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Oduzmite y-2x=8 od y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3} oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$y-y-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Dodaj y broju -y. Uvjeti y i -y se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Dodaj -\frac{4x}{3} broju 2x.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{28}{3}-8$$

Dodaj -\frac{28}{3} broju -8.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{52}{3}$$

Podijelite obje strane jednadžbe s \frac{2}{3}, što je isto kao da pomnožite obje strane recipročnim razlomkom.

$$x=-26$$

Supstituirajte -26 s x u izrazu y-2x=8. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati y.

$$y-2\left(-26\right)=8$$

Pomnožite -2 i -26.

$$y+52=8$$

Oduzmite 52 od obiju strana jednadžbe.

$$y=-44$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$y=-44,x=-26$$