Riješi y=1/3x;quady=60-3x

$$y = \frac { 1 } { 3 } x ; \quad y = 60 - 3 x$$

Izračunaj y, x

$$x=18$$

$$y=6$$

Koraci korištenja supstitucije

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Oduzmite \frac{1}{3}x od obiju strana.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Pojednostavnite drugu jednadžbu. Dodajte 3x na obje strane.

$$y+3x=60$$

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za y tako da izdvojite y s lijeve strane znaka jednakosti.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Dodajte \frac{x}{3} objema stranama jednadžbe.

$$y=\frac{1}{3}x$$

Supstituirajte \frac{x}{3} s y u drugoj jednadžbi, y+3x=60.

$$\frac{1}{3}x+3x=60$$

Dodaj \frac{x}{3} broju 3x.

$$\frac{10}{3}x=60$$

Podijelite obje strane jednadžbe s \frac{10}{3}, što je isto kao da pomnožite obje strane recipročnim razlomkom.

$$x=18$$

Supstituirajte 18 s x u izrazu y=\frac{1}{3}x. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati y.

$$y=\frac{1}{3}\times 18$$

Pomnožite \frac{1}{3} i 18.

$$y=6$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$y=6,x=18$$

Koraci korištenja matrica

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Oduzmite \frac{1}{3}x od obiju strana.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Pojednostavnite drugu jednadžbu. Dodajte 3x na obje strane.

$$y+3x=60$$

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 60\\\frac{3}{10}\times 60\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice y i x.

$$y=6,x=18$$

Koraci korištenja eliminacije

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Oduzmite \frac{1}{3}x od obiju strana.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Pojednostavnite drugu jednadžbu. Dodajte 3x na obje strane.

$$y+3x=60$$

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Oduzmite y+3x=60 od y-\frac{1}{3}x=0 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$y-y-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Dodaj y broju -y. Uvjeti y i -y se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Dodaj -\frac{x}{3} broju -3x.

$$-\frac{10}{3}x=-60$$

Podijelite obje strane jednadžbe s -\frac{10}{3}, što je isto kao da pomnožite obje strane recipročnim razlomkom.

$$x=18$$

Supstituirajte 18 s x u izrazu y+3x=60. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati y.

$$y+3\times 18=60$$

Pomnožite 3 i 18.

$$y+54=60$$

Oduzmite 54 od obiju strana jednadžbe.

$$y=6$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$y=6,x=18$$