Riješi x-y=5text{and}5y-4x=7

$$x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Izračunaj x, y

$$x=32$$

$$y=27$$

Koraci korištenja supstitucije

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za x tako da izdvojite x s lijeve strane znaka jednakosti.

$$x-y=5$$

Dodajte y objema stranama jednadžbe.

$$x=y+5$$

Supstituirajte y+5 s x u drugoj jednadžbi, -4x+5y=7.

$$-4\left(y+5\right)+5y=7$$

Pomnožite -4 i y+5.

$$-4y-20+5y=7$$

Dodaj -4y broju 5y.

$$y-20=7$$

Dodajte 20 objema stranama jednadžbe.

$$y=27$$

Supstituirajte 27 s y u izrazu x=y+5. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$x=27+5$$

Dodaj 5 broju 27.

$$x=32$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=32,y=27$$

Koraci korištenja matrica

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 5+7\\4\times 5+7\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\27\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=32,y=27$$

Koraci korištenja eliminacije

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Da biste izjednačili x i -4x, pomnožite sve izraze s obje strane prve jednadžbe s -4 i sve izraze s obje strane druge jednadžbe s 1.

$$-4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,-4x+5y=7$$

Pojednostavnite.

$$-4x+4y=-20,-4x+5y=7$$

Oduzmite -4x+5y=7 od -4x+4y=-20 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$-4x+4x+4y-5y=-20-7$$

Dodaj -4x broju 4x. Uvjeti -4x i 4x se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$4y-5y=-20-7$$

Dodaj 4y broju -5y.

$$-y=-20-7$$

Dodaj -20 broju -7.

$$-y=-27$$

Podijelite obje strane sa -1.

$$y=27$$

Supstituirajte 27 s y u izrazu -4x+5y=7. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$-4x+5\times 27=7$$

Pomnožite 5 i 27.

$$-4x+135=7$$

Oduzmite 135 od obiju strana jednadžbe.

$$-4x=-128$$

Podijelite obje strane sa -4.

$$x=32$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=32,y=27$$