Riješi x-3y=7text{and}3x+3y=9

$$x - 3 y = 7 \text { and } 3 x + 3 y = 9$$

Izračunaj x, y

$$x=4$$

$$y=-1$$

Koraci korištenja supstitucije

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za x tako da izdvojite x s lijeve strane znaka jednakosti.

$$x-3y=7$$

Dodajte 3y objema stranama jednadžbe.

$$x=3y+7$$

Supstituirajte 3y+7 s x u drugoj jednadžbi, 3x+3y=9.

$$3\left(3y+7\right)+3y=9$$

Pomnožite 3 i 3y+7.

$$9y+21+3y=9$$

Dodaj 9y broju 3y.

$$12y+21=9$$

Oduzmite 21 od obiju strana jednadžbe.

$$12y=-12$$

Podijelite obje strane sa 12.

$$y=-1$$

Supstituirajte -1 s y u izrazu x=3y+7. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$x=3\left(-1\right)+7$$

Pomnožite 3 i -1.

$$x=-3+7$$

Dodaj 7 broju -3.

$$x=4$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=4,y=-1$$

Koraci korištenja matrica

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{3-\left(-3\times 3\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{4}\times 9\\-\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{12}\times 9\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=4,y=-1$$

Koraci korištenja eliminacije

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Da biste izjednačili x i 3x, pomnožite sve izraze s obje strane prve jednadžbe s 3 i sve izraze s obje strane druge jednadžbe s 1.

$$3x+3\left(-3\right)y=3\times 7,3x+3y=9$$

Pojednostavnite.

$$3x-9y=21,3x+3y=9$$

Oduzmite 3x+3y=9 od 3x-9y=21 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$3x-3x-9y-3y=21-9$$

Dodaj 3x broju -3x. Uvjeti 3x i -3x se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$-9y-3y=21-9$$

Dodaj -9y broju -3y.

$$-12y=21-9$$

Dodaj 21 broju -9.

$$-12y=12$$

Podijelite obje strane sa -12.

$$y=-1$$

Supstituirajte -1 s y u izrazu 3x+3y=9. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$3x+3\left(-1\right)=9$$

Pomnožite 3 i -1.

$$3x-3=9$$

Dodajte 3 objema stranama jednadžbe.

$$3x=12$$

Podijelite obje strane sa 3.

$$x=4$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=4,y=-1$$