Riješi x^2-6x+2>0

$$x ^ { 2 } - 6 x + 2 > 0$$

Izračunaj x

$$x\in \left(-\infty,3-\sqrt{7}\right)\cup \left(\sqrt{7}+3,\infty\right)$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Da biste riješili nejednakost, rastavite lijevu stranu na faktore. Kvadratni polinom može se rastaviti na faktore pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), u kojoj su x_{1} i x_{2} rješenja kvadratne jednadžbe ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-6x+2=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. U kvadratnoj formuli zamijenite 1 s a, -6 s b i 2 s c.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 2}}{2}$$

Izračunajte.

$$x=\frac{6±2\sqrt{7}}{2}$$

Riješite jednadžbu x=\frac{6±2\sqrt{7}}{2} kad je ± plus i kad je ± minus.

$$x=\sqrt{7}+3 x=3-\sqrt{7}$$

Izrazite nejednakost pomoću dobivenih rješenja.

$$\left(x-\left(\sqrt{7}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{7}\right)\right)>0$$

Da bi umnožak bio pozitivan, i x-\left(\sqrt{7}+3\right) i x-\left(3-\sqrt{7}\right) moraju biti negativni ili pozitivni. Razmislite o slučaju u kojem su i x-\left(\sqrt{7}+3\right) i x-\left(3-\sqrt{7}\right) negativni.

$$x-\left(\sqrt{7}+3\right)<0 x-\left(3-\sqrt{7}\right)<0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti jest x<3-\sqrt{7}.

$$x<3-\sqrt{7}$$

Razmislite o slučaju u kojem su i x-\left(\sqrt{7}+3\right) i x-\left(3-\sqrt{7}\right) pozitivni.

$$x-\left(3-\sqrt{7}\right)>0 x-\left(\sqrt{7}+3\right)>0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti jest x>\sqrt{7}+3.

$$x>\sqrt{7}+3$$

Konačno je rješenje unija dobivenih rješenja.

$$x<3-\sqrt{7}\text{; }x>\sqrt{7}+3$$