Riješi x^2-3x-108=0

$$x ^ { 2 } - 3 x - 108 = 0$$

Izračunaj x

$$x=-9$$

$$x=12$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore

Da biste riješili jednadžbu, faktor x^{2}-3x-108 pomoću x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) formule. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji će biti riješiti.

$$a+b=-3 ab=-108$$

Budući da je ab negativan, a i b suprotnu znakovi. Budući da je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivne vrijednosti. Navedi sve kao cijeli broj koji daje -108 proizvoda.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Rješenje je par koji daje zbroj -3.

$$a=-12 b=9$$

Prepišite izraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) rastavljen na faktore pomoću dobivenih vrijednosti.

$$\left(x-12\right)\left(x+9\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite x-12=0 i x+9=0.

$$x=12 x=-9$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore pomoću grupiranja

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao x^{2}+ax+bx-108. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji će biti riješiti.

$$a+b=-3 ab=1\left(-108\right)=-108$$

Budući da je ab negativan, a i b suprotnu znakovi. Budući da je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivne vrijednosti. Navedi sve kao cijeli broj koji daje -108 proizvoda.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Rješenje je par koji daje zbroj -3.

$$a=-12 b=9$$

Izrazite x^{2}-3x-108 kao \left(x^{2}-12x\right)+\left(9x-108\right).

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(9x-108\right)$$

Faktor x u prvom i 9 u drugoj grupi.

$$x\left(x-12\right)+9\left(x-12\right)$$

Faktor uobičajeni termin x-12 korištenjem distribucije svojstva.

$$\left(x-12\right)\left(x+9\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite x-12=0 i x+9=0.

$$x=12 x=-9$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$x^{2}-3x-108=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 1 s a, -3 s b i -108 s c.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-108\right)}}{2}$$

Kvadrirajte -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-108\right)}}{2}$$

Pomnožite -4 i -108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+432}}{2}$$

Dodaj 9 broju 432.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{441}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 441.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±21}{2}$$

Broj suprotan broju -3 jest 3.

$$x=\frac{3±21}{2}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{3±21}{2} kad je ± plus. Dodaj 3 broju 21.

$$x=\frac{24}{2}$$

Podijelite 24 s 2.

$$x=12$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{3±21}{2} kad je ± minus. Oduzmite 21 od 3.

$$x=-\frac{18}{2}$$

Podijelite -18 s 2.

$$x=-9$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=12 x=-9$$

Koraci za računanje kvadrata

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-3x-108=0$$

Dodajte 108 objema stranama jednadžbe.

$$x^{2}-3x-108-\left(-108\right)=-\left(-108\right)$$

Oduzimanje -108 samog od sebe dobiva se 0.

$$x^{2}-3x=-\left(-108\right)$$

Oduzmite -108 od 0.

$$x^{2}-3x=108$$

Podijelite -3, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili -\frac{3}{2}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte -\frac{3}{2} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=108+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrirajte -\frac{3}{2} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=108+\frac{9}{4}$$

Dodaj 108 broju \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{441}{4}$$

Faktor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Općenito, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uzeti u obzir kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{441}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{4}}$$

Pojednostavnite.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{21}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{21}{2}$$

Dodajte \frac{3}{2} objema stranama jednadžbe.

$$x=12 x=-9$$