Riješi x^2-2x-5<0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 5 < 0$$

Izračunaj x

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Da biste riješili nejednakost, rastavite lijevu stranu na faktore. Kvadratni polinom može se rastaviti na faktore pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), u kojoj su x_{1} i x_{2} rješenja kvadratne jednadžbe ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-2x-5=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. U kvadratnoj formuli zamijenite 1 s a, -2 s b i -5 s c.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-5\right)}}{2}$$

Izračunajte.

$$x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2}$$

Riješite jednadžbu x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2} kad je ± plus i kad je ± minus.

$$x=\sqrt{6}+1 x=1-\sqrt{6}$$

Izrazite nejednakost pomoću dobivenih rješenja.

$$\left(x-\left(\sqrt{6}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{6}\right)\right)<0$$

Da bi umnožak bio negativan, x-\left(\sqrt{6}+1\right) i x-\left(1-\sqrt{6}\right) moraju biti suprotnih predznaka. Razmislite o slučaju u kojem je x-\left(\sqrt{6}+1\right) pozitivan, a x-\left(1-\sqrt{6}\right) negativan.

$$x-\left(\sqrt{6}+1\right)>0 x-\left(1-\sqrt{6}\right)<0$$

To ne vrijedi ni za koji x.

$$x\in \emptyset$$

Razmislite o slučaju u kojem je x-\left(1-\sqrt{6}\right) pozitivan, a x-\left(\sqrt{6}+1\right) negativan.

$$x-\left(1-\sqrt{6}\right)>0 x-\left(\sqrt{6}+1\right)<0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti jest x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right).

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

Konačno je rješenje unija dobivenih rješenja.

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$