Riješi x^2=2sqrt{1-x^2}

$$x ^ { 2 } = 2 \sqrt { 1 - x ^ { 2 } }$$

Izračunaj x

$$x=\sqrt{2\sqrt{2}-2}\approx 0,910179721$$

$$x=-\sqrt{2\sqrt{2}-2}\approx -0,910179721$$

Koraci rješenja

Kvadrirajte obje strane jednadžbe.

$$\left(x^{2}\right)^{2}=\left(2\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2}$$

Da biste izračunali potenciju potencije, pomnožite eksponente. Pomnožite 2 i 2 da biste dobili 4.

$$x^{4}=\left(2\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2}$$

Proširivanje broja \left(2\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2}.

$$x^{4}=2^{2}\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na 2 da biste dobili 4.

$$x^{4}=4\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{1-x^{2}} da biste dobili 1-x^{2}.

$$x^{4}=4\left(1-x^{2}\right)$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili 4 s 1-x^{2}.

$$x^{4}=4-4x^{2}$$

Oduzmite 4 od obiju strana.

$$x^{4}-4=-4x^{2}$$

Dodajte 4x^{2} na obje strane.

$$x^{4}-4+4x^{2}=0$$

Zamijenite t za x^{2}.

$$t^{2}+4t-4=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. U kvadratnoj formuli zamijenite 1 s a, 4 s b i -4 s c.

$$t=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\left(-4\right)}}{2}$$

Izračunajte.

$$t=\frac{-4±4\sqrt{2}}{2}$$

Riješite jednadžbu t=\frac{-4±4\sqrt{2}}{2} kad je ± plus i kad je ± minus.

$$t=2\sqrt{2}-2 t=-2\sqrt{2}-2$$

Od x=t^{2}, rješenja su dohvaćena tako da procjena x=±\sqrt{t} za pozitivne t.

$$x=\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2} x=-\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2}$$

Zamijenite \frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2} s x u jednadžbi x^{2}=2\sqrt{1-x^{2}}.

$$\left(\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2}\right)^{2}=2\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2}\right)^{2}}$$

Pojednostavnite. Vrijednost x=\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2} zadovoljava jednadžbu.

$$2\times 2^{\frac{1}{2}}-2=2\times 2^{\frac{1}{2}}-2$$

Zamijenite -\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2} s x u jednadžbi x^{2}=2\sqrt{1-x^{2}}.

$$\left(-\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2}\right)^{2}=2\sqrt{1-\left(-\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2}\right)^{2}}$$

Pojednostavnite. Vrijednost x=-\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2} zadovoljava jednadžbu.

$$2\times 2^{\frac{1}{2}}-2=2\times 2^{\frac{1}{2}}-2$$

Navedite sva rješenja za x^{2}=2\sqrt{1-x^{2}}.

$$x=\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2} x=-\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2}$$