Riješi x^2+4x-11<-36x-x^2

$$x ^ { 2 } + 4 x - 11 < - 36 x - x ^ { 2 }$$

Izračunaj x

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10,\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Dodajte 36x na obje strane.

$$x^{2}+4x-11+36x<-x^{2}$$

Kombinirajte 4x i 36x da biste dobili 40x.

$$x^{2}+40x-11<-x^{2}$$

Dodajte x^{2} na obje strane.

$$x^{2}+40x-11+x^{2}<0$$

Kombinirajte x^{2} i x^{2} da biste dobili 2x^{2}.

$$2x^{2}+40x-11<0$$

Da biste riješili nejednakost, rastavite lijevu stranu na faktore. Kvadratni polinom može se rastaviti na faktore pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), u kojoj su x_{1} i x_{2} rješenja kvadratne jednadžbe ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+40x-11=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. U kvadratnoj formuli zamijenite 2 s a, 40 s b i -11 s c.

$$x=\frac{-40±\sqrt{40^{2}-4\times 2\left(-11\right)}}{2\times 2}$$

Izračunajte.

$$x=\frac{-40±2\sqrt{422}}{4}$$

Riješite jednadžbu x=\frac{-40±2\sqrt{422}}{4} kad je ± plus i kad je ± minus.

$$x=\frac{\sqrt{422}}{2}-10 x=-\frac{\sqrt{422}}{2}-10$$

Izrazite nejednakost pomoću dobivenih rješenja.

$$2\left(x-\left(\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)\right)<0$$

Da bi umnožak bio negativan, x-\left(\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right) i x-\left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right) moraju biti suprotnih predznaka. Razmislite o slučaju u kojem je x-\left(\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right) pozitivan, a x-\left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right) negativan.

$$x-\left(\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)>0 x-\left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)<0$$

To ne vrijedi ni za koji x.

$$x\in \emptyset$$

Razmislite o slučaju u kojem je x-\left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right) pozitivan, a x-\left(\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right) negativan.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)>0 x-\left(\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)<0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti jest x\in \left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10,\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right).

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10,\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)$$

Konačno je rješenje unija dobivenih rješenja.

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10,\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)$$