Riješi x+3y=6;5x-2y=13

$$x + 3 y = 6 ; 5 x - 2 y = 13$$

Izračunaj x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Koraci korištenja supstitucije

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za x tako da izdvojite x s lijeve strane znaka jednakosti.

$$x+3y=6$$

Oduzmite 3y od obiju strana jednadžbe.

$$x=-3y+6$$

Supstituirajte -3y+6 s x u drugoj jednadžbi, 5x-2y=13.

$$5\left(-3y+6\right)-2y=13$$

Pomnožite 5 i -3y+6.

$$-15y+30-2y=13$$

Dodaj -15y broju -2y.

$$-17y+30=13$$

Oduzmite 30 od obiju strana jednadžbe.

$$-17y=-17$$

Podijelite obje strane sa -17.

$$y=1$$

Supstituirajte 1 s y u izrazu x=-3y+6. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$x=-3+6$$

Dodaj 6 broju -3.

$$x=3$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=3,y=1$$

Koraci korištenja matrica

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovno napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3\times 5}&-\frac{3}{-2-3\times 5}\\-\frac{5}{-2-3\times 5}&\frac{1}{-2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{5}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 6+\frac{3}{17}\times 13\\\frac{5}{17}\times 6-\frac{1}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=3,y=1$$

Koraci korištenja eliminacije

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Da biste izjednačili x i 5x, pomnožite sve izraze s obje strane prve jednadžbe s 5 i sve izraze s obje strane druge jednadžbe s 1.

$$5x+5\times 3y=5\times 6,5x-2y=13$$

Pojednostavnite.

$$5x+15y=30,5x-2y=13$$

Oduzmite 5x-2y=13 od 5x+15y=30 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$5x-5x+15y+2y=30-13$$

Dodaj 5x broju -5x. Izrazi 5x i -5x skraćuju se, ostavljajući jednadžbu samo s jednom varijablom, koja se može riješiti.

$$15y+2y=30-13$$

Dodaj 15y broju 2y.

$$17y=30-13$$

Dodaj 30 broju -13.

$$17y=17$$

Podijelite obje strane sa 17.

$$y=1$$

Supstituirajte 1 s y u izrazu 5x-2y=13. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$5x-2=13$$

Dodajte 2 objema stranama jednadžbe.

$$5x=15$$

Podijelite obje strane sa 5.

$$x=3$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=3,y=1$$