Riješi x+2y=-1;2x-3y=12

$$x + 2 y = - 1 ; 2 x - 3 y = 12$$

Izračunaj x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Koraci korištenja supstitucije

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za x tako da izdvojite x s lijeve strane znaka jednakosti.

$$x+2y=-1$$

Oduzmite 2y od obiju strana jednadžbe.

$$x=-2y-1$$

Supstituirajte -2y-1 s x u drugoj jednadžbi, 2x-3y=12.

$$2\left(-2y-1\right)-3y=12$$

Pomnožite 2 i -2y-1.

$$-4y-2-3y=12$$

Dodaj -4y broju -3y.

$$-7y-2=12$$

Dodajte 2 objema stranama jednadžbe.

$$-7y=14$$

Podijelite obje strane sa -7.

$$y=-2$$

Supstituirajte -2 s y u izrazu x=-2y-1. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$x=-2\left(-2\right)-1$$

Pomnožite -2 i -2.

$$x=4-1$$

Dodaj -1 broju 4.

$$x=3$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=3,y=-2$$

Koraci korištenja matrica

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2\times 2}&-\frac{2}{-3-2\times 2}\\-\frac{2}{-3-2\times 2}&\frac{1}{-3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-1\right)+\frac{2}{7}\times 12\\\frac{2}{7}\left(-1\right)-\frac{1}{7}\times 12\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=3,y=-2$$

Koraci korištenja eliminacije

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Da biste izjednačili x i 2x, pomnožite sve izraze s obje strane prve jednadžbe s 2 i sve izraze s obje strane druge jednadžbe s 1.

$$2x+2\times 2y=2\left(-1\right),2x-3y=12$$

Pojednostavnite.

$$2x+4y=-2,2x-3y=12$$

Oduzmite 2x-3y=12 od 2x+4y=-2 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$2x-2x+4y+3y=-2-12$$

Dodaj 2x broju -2x. Uvjeti 2x i -2x se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$4y+3y=-2-12$$

Dodaj 4y broju 3y.

$$7y=-2-12$$

Dodaj -2 broju -12.

$$7y=-14$$

Podijelite obje strane sa 7.

$$y=-2$$

Supstituirajte -2 s y u izrazu 2x-3y=12. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$2x-3\left(-2\right)=12$$

Pomnožite -3 i -2.

$$2x+6=12$$

Oduzmite 6 od obiju strana jednadžbe.

$$2x=6$$

Podijelite obje strane sa 2.

$$x=3$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=3,y=-2$$