Riješi f(x)=2x^4+11x^3+15x^2-8x-20

$$f ( x ) = 2 x ^ { 4 } + 11 x ^ { 3 } + 15 x ^ { 2 } - 8 x - 20$$

Faktor

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$

Koraci rješenja

Prema teoremu racionalnog korijena, svi racionalni korijeni polinomijalnog oblika su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli konstantni termin -20 i q dijeli glavni koeficijent 2. Jedan od takvih korijena je -\frac{5}{2}. Rastavite polinom na faktore tako da ga podijelite sa 2x+5.

$$\left(2x+5\right)\left(x^{3}+3x^{2}-4\right)$$

Razmotrite x^{3}+3x^{2}-4. Prema teoremu racionalnog korijena, svi racionalni korijeni polinomijalnog oblika su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli konstantni termin -4 i q dijeli glavni koeficijent 1. Jedan od takvih korijena je -2. Rastavite polinom na faktore tako da ga podijelite sa x+2.

$$\left(x+2\right)\left(x^{2}+x-2\right)$$

Razmotrite x^{2}+x-2. Grupiranjem rastavite izraz na faktore. Izraz je najprije potrebno prepisati kao x^{2}+ax+bx-2. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji će biti riješiti.

$$a+b=1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Budući da je ab negativan, a i b suprotnu znakovi. Budući da je a+b pozitivan, pozitivni broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Jedini je takav par sistemsko rješenje.

$$a=-1 b=2$$

Izrazite x^{2}+x-2 kao \left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right)$$

Faktor x u prvom i 2 u drugoj grupi.

$$x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

Faktor uobičajeni termin x-1 korištenjem distribucije svojstva.

$$\left(x-1\right)\left(x+2\right)$$

Prepravljanje čitavog izraza rastavljenog na faktore.

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$

Izračunaj

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$