Riješi f(x)=siny

$$f ( x ) = \sin y$$

Diferenciraj u odnosu na y

$$\cos(y)$$

Koraci korištenja definicije derivacije

Za funkciju f\left(x\right) derivacija je limes od \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} pri čemu h teži 0, ako takav limes postoji.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(\sin(y))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y+h)-\sin(y)}{h}\right)$$

Koristite formulu zbroja za sinus.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y+h)-\sin(y)}{h}$$

Izlučite \sin(y).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(y)\sin(h)}{h}$$

Ponovno napišite limes.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(y)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(y)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Koristite činjenicu da je y nepromjenljiv kad ograničenje računanja h stremi prema 0.

$$\sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Limes od \lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y} je 1.

$$\sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y)$$

Da biste izračunali limes od \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, prvo podijelite brojnik i nazivnik s \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Pomnožite \cos(h)+1 i \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Koristite pitagorejski identitet.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Ponovno napišite limes.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Limes od \lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y} je 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Koristite činjenicu da je \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} nepromjenljiv pri 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Supstituirajte vrijednost 0 u izrazu \sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y).

$$\cos(y)$$

Izračunaj

$$\sin(y)$$