Riješi f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^2-t)dt

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 2 } - t ) d t$$

Izračunaj

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

Koraci rješenja

Prvo procijenite beskonačni integral.

$$\int t^{2}-t\mathrm{d}t$$

Integrirajte zbroj termina po terminu.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t+\int -t\mathrm{d}t$$

Izbacite konstantu u svakom od izraza.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t-\int t\mathrm{d}t$$

Od \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} za k\neq -1, zamijenite \int t^{2}\mathrm{d}t s \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\int t\mathrm{d}t$$

Od \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} za k\neq -1, zamijenite \int t\mathrm{d}t s \frac{t^{2}}{2}. Pomnožite -1 i \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}$$

Konačni integral je antiderivat izraza izračunatog u gornjoj granici integracije minus antiderivat izračunat u donjoj granici integracije.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-\left(\frac{0^{3}}{3}-\frac{0^{2}}{2}\right)$$

Pojednostavnite.

$$-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

Diferenciraj u odnosu na x

$$x\left(x-1\right)$$