Riješi a^2-68a+225leq0

$$a ^ { 2 } - 68 a + 225 \leq 0$$

Izračunaj a

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Da biste riješili nejednakost, rastavite lijevu stranu na faktore. Kvadratni polinom može se rastaviti na faktore pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), u kojoj su x_{1} i x_{2} rješenja kvadratne jednadžbe ax^{2}+bx+c=0.

$$a^{2}-68a+225=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. U kvadratnoj formuli zamijenite 1 s a, -68 s b i 225 s c.

$$a=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{\left(-68\right)^{2}-4\times 1\times 225}}{2}$$

Izračunajte.

$$a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2}$$

Riješite jednadžbu a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2} kad je ± plus i kad je ± minus.

$$a=7\sqrt{19}+34 a=34-7\sqrt{19}$$

Izrazite nejednakost pomoću dobivenih rješenja.

$$\left(a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\right)\left(a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\right)\leq 0$$

Da bi umnožak bio ≤0, a-\left(7\sqrt{19}+34\right) ili a-\left(34-7\sqrt{19}\right) mora biti ≥0, a drugi član mora biti ≤0. Razmotrite slučaj kada je a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 i a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0.

$$a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0$$

To ne vrijedi ni za koji a.

$$a\in \emptyset$$

Razmotrite slučaj kada je a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0 i a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0.

$$a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0 a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti jest a\in \left[34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\right].

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

Konačno je rješenje unija dobivenih rješenja.

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$