Riješi 9x^2-24x=65

$$9 x ^ { 2 } - 24 x = 65$$

Izračunaj x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4,333333333$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore pomoću grupiranja

Oduzmite 65 od obiju strana.

$$9x^{2}-24x-65=0$$

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao 9x^{2}+ax+bx-65. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji će biti riješiti.

$$a+b=-24 ab=9\left(-65\right)=-585$$

Budući da je ab negativan, a i b suprotnu znakovi. Budući da je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivne vrijednosti. Navedi sve kao cijeli broj koji daje -585 proizvoda.

$$1,-585 3,-195 5,-117 9,-65 13,-45 15,-39$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$1-585=-584 3-195=-192 5-117=-112 9-65=-56 13-45=-32 15-39=-24$$

Rješenje je par koji daje zbroj -24.

$$a=-39 b=15$$

Izrazite 9x^{2}-24x-65 kao \left(9x^{2}-39x\right)+\left(15x-65\right).

$$\left(9x^{2}-39x\right)+\left(15x-65\right)$$

Faktor 3x u prvom i 5 u drugoj grupi.

$$3x\left(3x-13\right)+5\left(3x-13\right)$$

Faktor uobičajeni termin 3x-13 korištenjem distribucije svojstva.

$$\left(3x-13\right)\left(3x+5\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite 3x-13=0 i 3x+5=0.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$9x^{2}-24x=65$$

Oduzmite 65 od obiju strana jednadžbe.

$$9x^{2}-24x-65=65-65$$

Oduzimanje 65 samog od sebe dobiva se 0.

$$9x^{2}-24x-65=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 9 s a, -24 s b i -65 s c.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 9\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrirajte -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 9\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Pomnožite -4 i 9.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-36\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Pomnožite -36 i -65.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+2340}}{2\times 9}$$

Dodaj 576 broju 2340.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{2916}}{2\times 9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 2916.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±54}{2\times 9}$$

Broj suprotan broju -24 jest 24.

$$x=\frac{24±54}{2\times 9}$$

Pomnožite 2 i 9.

$$x=\frac{24±54}{18}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{24±54}{18} kad je ± plus. Dodaj 24 broju 54.

$$x=\frac{78}{18}$$

Skratite razlomak \frac{78}{18} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 6.

$$x=\frac{13}{3}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{24±54}{18} kad je ± minus. Oduzmite 54 od 24.

$$x=-\frac{30}{18}$$

Skratite razlomak \frac{-30}{18} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 6.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Koraci za računanje kvadrata

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-24x=65$$

Podijelite obje strane sa 9.

$$\frac{9x^{2}-24x}{9}=\frac{65}{9}$$

Dijeljenjem s 9 poništava se množenje s 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{9}\right)x=\frac{65}{9}$$

Skratite razlomak \frac{-24}{9} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{65}{9}$$

Podijelite -\frac{8}{3}, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili -\frac{4}{3}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte -\frac{4}{3} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{65}{9}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Kvadrirajte -\frac{4}{3} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{65+16}{9}$$

Dodajte \frac{65}{9} broju \frac{16}{9} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=9$$

Faktor x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Općenito, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uzeti u obzir kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=9$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Pojednostavnite.

$$x-\frac{4}{3}=3 x-\frac{4}{3}=-3$$

Dodajte \frac{4}{3} objema stranama jednadžbe.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$