Riješi 9x^2-155x-500=0

$$9 x ^ { 2 } - 155 x - 500 = 0$$

Izračunaj x

$$x = -\frac{25}{9} = -2\frac{7}{9} \approx -2,777777778$$

$$x=20$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore pomoću grupiranja

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao 9x^{2}+ax+bx-500. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji će biti riješiti.

$$a+b=-155 ab=9\left(-500\right)=-4500$$

Budući da je ab negativan, a i b suprotnu znakovi. Budući da je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivne vrijednosti. Navedi sve kao cijeli broj koji daje -4500 proizvoda.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

Rješenje je par koji daje zbroj -155.

$$a=-180 b=25$$

Izrazite 9x^{2}-155x-500 kao \left(9x^{2}-180x\right)+\left(25x-500\right).

$$\left(9x^{2}-180x\right)+\left(25x-500\right)$$

Faktor 9x u prvom i 25 u drugoj grupi.

$$9x\left(x-20\right)+25\left(x-20\right)$$

Faktor uobičajeni termin x-20 korištenjem distribucije svojstva.

$$\left(x-20\right)\left(9x+25\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite x-20=0 i 9x+25=0.

$$x=20 x=-\frac{25}{9}$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$9x^{2}-155x-500=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 9 s a, -155 s b i -500 s c.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{\left(-155\right)^{2}-4\times 9\left(-500\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrirajte -155.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{24025-4\times 9\left(-500\right)}}{2\times 9}$$

Pomnožite -4 i 9.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{24025-36\left(-500\right)}}{2\times 9}$$

Pomnožite -36 i -500.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{24025+18000}}{2\times 9}$$

Dodaj 24025 broju 18000.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{42025}}{2\times 9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 42025.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±205}{2\times 9}$$

Broj suprotan broju -155 jest 155.

$$x=\frac{155±205}{2\times 9}$$

Pomnožite 2 i 9.

$$x=\frac{155±205}{18}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{155±205}{18} kad je ± plus. Dodaj 155 broju 205.

$$x=\frac{360}{18}$$

Podijelite 360 s 18.

$$x=20$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{155±205}{18} kad je ± minus. Oduzmite 205 od 155.

$$x=-\frac{50}{18}$$

Skratite razlomak \frac{-50}{18} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 2.

$$x=-\frac{25}{9}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=20 x=-\frac{25}{9}$$

Koraci za računanje kvadrata

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-155x-500=0$$

Dodajte 500 objema stranama jednadžbe.

$$9x^{2}-155x-500-\left(-500\right)=-\left(-500\right)$$

Oduzimanje -500 samog od sebe dobiva se 0.

$$9x^{2}-155x=-\left(-500\right)$$

Oduzmite -500 od 0.

$$9x^{2}-155x=500$$

Podijelite obje strane sa 9.

$$\frac{9x^{2}-155x}{9}=\frac{500}{9}$$

Dijeljenjem s 9 poništava se množenje s 9.

$$x^{2}-\frac{155}{9}x=\frac{500}{9}$$

Podijelite -\frac{155}{9}, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili -\frac{155}{18}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte -\frac{155}{18} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$x^{2}-\frac{155}{9}x+\left(-\frac{155}{18}\right)^{2}=\frac{500}{9}+\left(-\frac{155}{18}\right)^{2}$$

Kvadrirajte -\frac{155}{18} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$x^{2}-\frac{155}{9}x+\frac{24025}{324}=\frac{500}{9}+\frac{24025}{324}$$

Dodajte \frac{500}{9} broju \frac{24025}{324} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x^{2}-\frac{155}{9}x+\frac{24025}{324}=\frac{42025}{324}$$

Faktor x^{2}-\frac{155}{9}x+\frac{24025}{324}. Općenito, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uzeti u obzir kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{155}{18}\right)^{2}=\frac{42025}{324}$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{155}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{42025}{324}}$$

Pojednostavnite.

$$x-\frac{155}{18}=\frac{205}{18} x-\frac{155}{18}=-\frac{205}{18}$$

Dodajte \frac{155}{18} objema stranama jednadžbe.

$$x=20 x=-\frac{25}{9}$$