Riješi 9x^2-30x+25=0

$$9 { x }^{ 2 } -30x+25=0$$

Izračunaj x

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore pomoću grupiranja

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao 9x^{2}+ax+bx+25. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji treba riješiti.

$$a+b=-30 ab=9\times 25=225$$

Budući da je ab pozitivan, a i b imaju isti znak. Budući da je a+b negativan, a i b su negativni. Navedite sve takve parove cijelih brojeva koji proizvode 225.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

Rješenje je par koji daje zbroj -30.

$$a=-15 b=-15$$

Izrazite 9x^{2}-30x+25 kao \left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right).

$$\left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right)$$

Izlučite 3x iz prve i -5 iz druge grupe.

$$3x\left(3x-5\right)-5\left(3x-5\right)$$

Izlučite zajednički izraz 3x-5 pomoću svojstva distribucije.

$$\left(3x-5\right)\left(3x-5\right)$$

Ponovno napišite kao kvadrat binoma.

$$\left(3x-5\right)^{2}$$

Da biste pronašli rješenje jednadžbe, riješite 3x-5=0.

$$x=\frac{5}{3}$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 9 s a, -30 s b i 25 s c.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Kvadrirajte -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Pomnožite -4 i 9.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

Pomnožite -36 i 25.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

Dodaj 900 broju -900.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 0.

$$x=-\frac{-30}{2\times 9}$$

Broj suprotan broju -30 jest 30.

$$x=\frac{30}{2\times 9}$$

Pomnožite 2 i 9.

$$x=\frac{30}{18}$$

Skratite razlomak \frac{30}{18} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 6.

$$x=\frac{5}{3}$$

Koraci za računanje kvadrata

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Oduzmite 25 od obiju strana jednadžbe.

$$9x^{2}-30x+25-25=-25$$

Oduzimanje 25 samog od sebe dobiva se 0.

$$9x^{2}-30x=-25$$

Podijelite obje strane sa 9.

$$\frac{9x^{2}-30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

Dijeljenjem s 9 poništava se množenje s 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)x=-\frac{25}{9}$$

Skratite razlomak \frac{-30}{9} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

Podijelite -\frac{10}{3}, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili -\frac{5}{3}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte -\frac{5}{3} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Kvadrirajte -\frac{5}{3} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

Dodajte -\frac{25}{9} broju \frac{25}{9} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

Rastavite x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9} na faktore. Općenito, kad je x^{2}+bx+c kvadratni broj, uvijek se može rastaviti na faktore kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Pojednostavnite.

$$x-\frac{5}{3}=0 x-\frac{5}{3}=0$$

Dodajte \frac{5}{3} objema stranama jednadžbe.

$$x=\frac{5}{3} x=\frac{5}{3}$$

Jednadžba je sada riješena. Rješenja su jednaka.

$$x=\frac{5}{3}$$