Riješi 81x^2+180x+100

$$81 x ^ { 2 } + 180 x + 100$$

Faktor

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Koraci rješenja

Grupiranjem rastavite izraz na faktore. Izraz je najprije potrebno prepisati kao 81x^{2}+ax+bx+100. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji treba riješiti.

$$a+b=180 ab=81\times 100=8100$$

Budući da je ab pozitivan, a i b imaju isti znak. Budući da je a+b pozitivan, a i b su pozitivni. Navedite sve takve parove cijelih brojeva koji proizvode 8100.

$$1,8100 2,4050 3,2700 4,2025 5,1620 6,1350 9,900 10,810 12,675 15,540 18,450 20,405 25,324 27,300 30,270 36,225 45,180 50,162 54,150 60,135 75,108 81,100 90,90$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$1+8100=8101 2+4050=4052 3+2700=2703 4+2025=2029 5+1620=1625 6+1350=1356 9+900=909 10+810=820 12+675=687 15+540=555 18+450=468 20+405=425 25+324=349 27+300=327 30+270=300 36+225=261 45+180=225 50+162=212 54+150=204 60+135=195 75+108=183 81+100=181 90+90=180$$

Rješenje je par koji daje zbroj 180.

$$a=90 b=90$$

Izrazite 81x^{2}+180x+100 kao \left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right).

$$\left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right)$$

Izlučite 9x iz prve i 10 iz druge grupe.

$$9x\left(9x+10\right)+10\left(9x+10\right)$$

Izlučite zajednički izraz 9x+10 pomoću svojstva distribucije.

$$\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Ponovno napišite kao kvadrat binoma.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Koraci u kojima se koristi kvadrat binoma

Ovaj trinom ima oblik kvadrata trinoma, možda pomnoženog zajedničkim faktorom. Kvadrati trinoma mogu se faktorirati vađenjem kvadratnog korijena prvog i zadnjeg izraza.

$$factor(81x^{2}+180x+100)$$

Pronađite najveći zajednički djelitelj od koeficijenata.

$$gcf(81,180,100)=1$$

Pronađite kvadratni korijen prvog izraza, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Pronađite kvadratni korijen drugog izraza, 100.

$$\sqrt{100}=10$$

Kvadrat trinoma je kvadrat binoma koji je zbroj razlike kvadratnih korijena prvog i zadnjeg izraza, dok predznak određuje predznak srednjeg izraza u kvadratu trinoma.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Kvadratni polinom može se rastaviti na faktore pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), u kojoj su x_{1} i x_{2} rješenja kvadratne jednadžbe ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+180x+100=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$x=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Kvadrirajte 180.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Pomnožite -4 i 81.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Pomnožite -324 i 100.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Dodaj 32400 broju -32400.

$$x=\frac{-180±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 0.

$$x=\frac{-180±0}{2\times 81}$$

Pomnožite 2 i 81.

$$x=\frac{-180±0}{162}$$

Izvorni izraz rastavite na faktore pomoću jednadžbe ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zamijenite -\frac{10}{9} s x_{1} i -\frac{10}{9} s x_{2}.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)$$

Pojednostavnite sve izraze obrasca p-\left(-q\right) na p+q.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x+\frac{10}{9}\right)\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Dodajte \frac{10}{9} broju x pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Dodajte \frac{10}{9} broju x pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\times \frac{9x+10}{9}$$

Pomnožite \frac{9x+10}{9} i \frac{9x+10}{9} tako da pomnožite brojnik s brojnikom i nazivnik s nazivnikom. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{9\times 9}$$

Pomnožite 9 i 9.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{81}$$

Skratite 81, najveći zajednički djelitelj u vrijednostima 81 i 81.

$$81x^{2}+180x+100=\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Izračunaj

$$\left(9x+10\right)^{2}$$