Riješi 7x-15y-2=0text{ztal}x+2y=3

$$7 x - 15 y - 2 = 0 \text { ztal } x + 2 y = 3$$

Izračunaj x, y

$$x = \frac{49}{29} = 1\frac{20}{29} \approx 1,689655172$$

$$y=\frac{19}{29}\approx 0,655172414$$

Koraci korištenja supstitucije

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za x tako da izdvojite x s lijeve strane znaka jednakosti.

$$7x-15y-2=0$$

Dodajte 2 objema stranama jednadžbe.

$$7x-15y=2$$

Dodajte 15y objema stranama jednadžbe.

$$7x=15y+2$$

Podijelite obje strane sa 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(15y+2\right)$$

Pomnožite \frac{1}{7} i 15y+2.

$$x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}$$

Supstituirajte \frac{15y+2}{7} s x u drugoj jednadžbi, x+2y=3.

$$\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}+2y=3$$

Dodaj \frac{15y}{7} broju 2y.

$$\frac{29}{7}y+\frac{2}{7}=3$$

Oduzmite \frac{2}{7} od obiju strana jednadžbe.

$$\frac{29}{7}y=\frac{19}{7}$$

Podijelite obje strane jednadžbe s \frac{29}{7}, što je isto kao da pomnožite obje strane recipročnim razlomkom.

$$y=\frac{19}{29}$$

Supstituirajte \frac{19}{29} s y u izrazu x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$x=\frac{15}{7}\times \frac{19}{29}+\frac{2}{7}$$

Pomnožite \frac{15}{7} i \frac{19}{29} tako da pomnožite brojnik s brojnikom i nazivnik s nazivnikom. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x=\frac{285}{203}+\frac{2}{7}$$

Dodajte \frac{2}{7} broju \frac{285}{203} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x=\frac{49}{29}$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Koraci korištenja matrica

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{7\times 2-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{7\times 2-\left(-15\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{15}{29}\\-\frac{1}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\times 2+\frac{15}{29}\times 3\\-\frac{1}{29}\times 2+\frac{7}{29}\times 3\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{29}\\\frac{19}{29}\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Koraci korištenja eliminacije

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Da biste izjednačili 7x i x, pomnožite sve izraze s obje strane prve jednadžbe s 1 i sve izraze s obje strane druge jednadžbe s 7.

$$7x-15y-2=0,7x+7\times 2y=7\times 3$$

Pojednostavnite.

$$7x-15y-2=0,7x+14y=21$$

Oduzmite 7x+14y=21 od 7x-15y-2=0 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$7x-7x-15y-14y-2=-21$$

Dodaj 7x broju -7x. Uvjeti 7x i -7x se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$-15y-14y-2=-21$$

Dodaj -15y broju -14y.

$$-29y-2=-21$$

Dodajte 2 objema stranama jednadžbe.

$$-29y=-19$$

Podijelite obje strane sa -29.

$$y=\frac{19}{29}$$

Supstituirajte \frac{19}{29} s y u izrazu x+2y=3. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$x+2\times \frac{19}{29}=3$$

Pomnožite 2 i \frac{19}{29}.

$$x+\frac{38}{29}=3$$

Oduzmite \frac{38}{29} od obiju strana jednadžbe.

$$x=\frac{49}{29}$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$