Riješi 7x^2-32x-15=0

$$7 x ^ { 2 } - 32 x - 15 = 0$$

Izračunaj x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

$$x=5$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore pomoću grupiranja

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao 7x^{2}+ax+bx-15. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji će biti riješiti.

$$a+b=-32 ab=7\left(-15\right)=-105$$

Budući da je ab negativan, a i b suprotnu znakovi. Budući da je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivne vrijednosti. Navedi sve kao cijeli broj koji daje -105 proizvoda.

$$1,-105 3,-35 5,-21 7,-15$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$1-105=-104 3-35=-32 5-21=-16 7-15=-8$$

Rješenje je par koji daje zbroj -32.

$$a=-35 b=3$$

Izrazite 7x^{2}-32x-15 kao \left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right)$$

Faktor 7x u prvom i 3 u drugoj grupi.

$$7x\left(x-5\right)+3\left(x-5\right)$$

Faktor uobičajeni termin x-5 korištenjem distribucije svojstva.

$$\left(x-5\right)\left(7x+3\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite x-5=0 i 7x+3=0.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$7x^{2}-32x-15=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 7 s a, -32 s b i -15 s c.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Kvadrirajte -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Pomnožite -4 i 7.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-28\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Pomnožite -28 i -15.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+420}}{2\times 7}$$

Dodaj 1024 broju 420.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1444}}{2\times 7}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 1444.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±38}{2\times 7}$$

Broj suprotan broju -32 jest 32.

$$x=\frac{32±38}{2\times 7}$$

Pomnožite 2 i 7.

$$x=\frac{32±38}{14}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{32±38}{14} kad je ± plus. Dodaj 32 broju 38.

$$x=\frac{70}{14}$$

Podijelite 70 s 14.

$$x=5$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{32±38}{14} kad je ± minus. Oduzmite 38 od 32.

$$x=-\frac{6}{14}$$

Skratite razlomak \frac{-6}{14} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 2.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$

Koraci za računanje kvadrata

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-32x-15=0$$

Dodajte 15 objema stranama jednadžbe.

$$7x^{2}-32x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Oduzimanje -15 samog od sebe dobiva se 0.

$$7x^{2}-32x=-\left(-15\right)$$

Oduzmite -15 od 0.

$$7x^{2}-32x=15$$

Podijelite obje strane sa 7.

$$\frac{7x^{2}-32x}{7}=\frac{15}{7}$$

Dijeljenjem s 7 poništava se množenje s 7.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x=\frac{15}{7}$$

Podijelite -\frac{32}{7}, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili -\frac{16}{7}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte -\frac{16}{7} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{15}{7}+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}$$

Kvadrirajte -\frac{16}{7} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}=\frac{15}{7}+\frac{256}{49}$$

Dodajte \frac{15}{7} broju \frac{256}{49} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}=\frac{361}{49}$$

Faktor x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}. Općenito, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uzeti u obzir kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{361}{49}$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{49}}$$

Pojednostavnite.

$$x-\frac{16}{7}=\frac{19}{7} x-\frac{16}{7}=-\frac{19}{7}$$

Dodajte \frac{16}{7} objema stranama jednadžbe.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$