Riješi 64a^2+48a-36>0

$$64 a ^ { 2 } + 48 a - 36 > 0$$

Izračunaj a

$$a\in \left(-\infty,\frac{-3\sqrt{5}-3}{8}\right)\cup \left(\frac{3\sqrt{5}-3}{8},\infty\right)$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Da biste riješili nejednakost, rastavite lijevu stranu na faktore. Kvadratni polinom može se rastaviti na faktore pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), u kojoj su x_{1} i x_{2} rješenja kvadratne jednadžbe ax^{2}+bx+c=0.

$$64a^{2}+48a-36=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. U kvadratnoj formuli zamijenite 64 s a, 48 s b i -36 s c.

$$a=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 64\left(-36\right)}}{2\times 64}$$

Izračunajte.

$$a=\frac{-48±48\sqrt{5}}{128}$$

Riješite jednadžbu a=\frac{-48±48\sqrt{5}}{128} kad je ± plus i kad je ± minus.

$$a=\frac{3\sqrt{5}-3}{8} a=\frac{-3\sqrt{5}-3}{8}$$

Izrazite nejednakost pomoću dobivenih rješenja.

$$64\left(a-\frac{3\sqrt{5}-3}{8}\right)\left(a-\frac{-3\sqrt{5}-3}{8}\right)>0$$

Da bi umnožak bio pozitivan, i a-\frac{3\sqrt{5}-3}{8} i a-\frac{-3\sqrt{5}-3}{8} moraju biti negativni ili pozitivni. Razmislite o slučaju u kojem su i a-\frac{3\sqrt{5}-3}{8} i a-\frac{-3\sqrt{5}-3}{8} negativni.

$$a-\frac{3\sqrt{5}-3}{8}<0 a-\frac{-3\sqrt{5}-3}{8}<0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti jest a<\frac{-3\sqrt{5}-3}{8}.

$$a<\frac{-3\sqrt{5}-3}{8}$$

Razmislite o slučaju u kojem su i a-\frac{3\sqrt{5}-3}{8} i a-\frac{-3\sqrt{5}-3}{8} pozitivni.

$$a-\frac{-3\sqrt{5}-3}{8}>0 a-\frac{3\sqrt{5}-3}{8}>0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti jest a>\frac{3\sqrt{5}-3}{8}.

$$a>\frac{3\sqrt{5}-3}{8}$$

Konačno je rješenje unija dobivenih rješenja.

$$a<\frac{-3\sqrt{5}-3}{8}\text{; }a>\frac{3\sqrt{5}-3}{8}$$