Riješi 6x^2-19x+15=0

$$6 { x }^{ 2 } -19x+15 = 0$$

Izračunaj x

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore pomoću grupiranja

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao 6x^{2}+ax+bx+15. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji će biti riješiti.

$$a+b=-19 ab=6\times 15=90$$

Budući da je ab pozitivni, a i b imaju isti znak. Budući da je a+b negativan, a i b su negativni. Navedi sve kao cijeli broj koji daje 90 proizvoda.

$$-1,-90 -2,-45 -3,-30 -5,-18 -6,-15 -9,-10$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$-1-90=-91 -2-45=-47 -3-30=-33 -5-18=-23 -6-15=-21 -9-10=-19$$

Rješenje je par koji daje zbroj -19.

$$a=-10 b=-9$$

Izrazite 6x^{2}-19x+15 kao \left(6x^{2}-10x\right)+\left(-9x+15\right).

$$\left(6x^{2}-10x\right)+\left(-9x+15\right)$$

Faktor 2x u prvom i -3 u drugoj grupi.

$$2x\left(3x-5\right)-3\left(3x-5\right)$$

Faktor uobičajeni termin 3x-5 korištenjem distribucije svojstva.

$$\left(3x-5\right)\left(2x-3\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite 3x-5=0 i 2x-3=0.

$$x=\frac{5}{3} x=\frac{3}{2}$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$6x^{2}-19x+15=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 6 s a, -19 s b i 15 s c.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 6\times 15}}{2\times 6}$$

Kvadrirajte -19.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 6\times 15}}{2\times 6}$$

Pomnožite -4 i 6.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-24\times 15}}{2\times 6}$$

Pomnožite -24 i 15.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-360}}{2\times 6}$$

Dodaj 361 broju -360.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{1}}{2\times 6}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 1.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±1}{2\times 6}$$

Broj suprotan broju -19 jest 19.

$$x=\frac{19±1}{2\times 6}$$

Pomnožite 2 i 6.

$$x=\frac{19±1}{12}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{19±1}{12} kad je ± plus. Dodaj 19 broju 1.

$$x=\frac{20}{12}$$

Skratite razlomak \frac{20}{12} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 4.

$$x=\frac{5}{3}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{19±1}{12} kad je ± minus. Oduzmite 1 od 19.

$$x=\frac{18}{12}$$

Skratite razlomak \frac{18}{12} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=\frac{5}{3} x=\frac{3}{2}$$

Koraci za računanje kvadrata

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-19x+15=0$$

Oduzmite 15 od obiju strana jednadžbe.

$$6x^{2}-19x+15-15=-15$$

Oduzimanje 15 samog od sebe dobiva se 0.

$$6x^{2}-19x=-15$$

Podijelite obje strane sa 6.

$$\frac{6x^{2}-19x}{6}=-\frac{15}{6}$$

Dijeljenjem s 6 poništava se množenje s 6.

$$x^{2}-\frac{19}{6}x=-\frac{15}{6}$$

Skratite razlomak \frac{-15}{6} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 3.

$$x^{2}-\frac{19}{6}x=-\frac{5}{2}$$

Podijelite -\frac{19}{6}, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili -\frac{19}{12}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte -\frac{19}{12} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$x^{2}-\frac{19}{6}x+\left(-\frac{19}{12}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{19}{12}\right)^{2}$$

Kvadrirajte -\frac{19}{12} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$x^{2}-\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=-\frac{5}{2}+\frac{361}{144}$$

Dodajte -\frac{5}{2} broju \frac{361}{144} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x^{2}-\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{1}{144}$$

Faktor x^{2}-\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}. Općenito, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uzeti u obzir kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{1}{144}$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{144}}$$

Pojednostavnite.

$$x-\frac{19}{12}=\frac{1}{12} x-\frac{19}{12}=-\frac{1}{12}$$

Dodajte \frac{19}{12} objema stranama jednadžbe.

$$x=\frac{5}{3} x=\frac{3}{2}$$