Riješi 53x^2+5x-12<0

$$53 x ^ { 2 } + 5 x - 12 < 0$$

Izračunaj x

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Da biste riješili nejednakost, rastavite lijevu stranu na faktore. Kvadratni polinom može se rastaviti na faktore pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), u kojoj su x_{1} i x_{2} rješenja kvadratne jednadžbe ax^{2}+bx+c=0.

$$53x^{2}+5x-12=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. U kvadratnoj formuli zamijenite 53 s a, 5 s b i -12 s c.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 53\left(-12\right)}}{2\times 53}$$

Izračunajte.

$$x=\frac{-5±\sqrt{2569}}{106}$$

Riješite jednadžbu x=\frac{-5±\sqrt{2569}}{106} kad je ± plus i kad je ± minus.

$$x=\frac{\sqrt{2569}-5}{106} x=\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}$$

Izrazite nejednakost pomoću dobivenih rješenja.

$$53\left(x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}\right)<0$$

Da bi umnožak bio negativan, x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} i x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} moraju biti suprotnih predznaka. Razmislite o slučaju u kojem je x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} pozitivan, a x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} negativan.

$$x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}>0 x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}<0$$

To ne vrijedi ni za koji x.

$$x\in \emptyset$$

Razmislite o slučaju u kojem je x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} pozitivan, a x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} negativan.

$$x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}>0 x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}<0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti jest x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right).

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$

Konačno je rješenje unija dobivenih rješenja.

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$