Riješi 5x-2y=1;3x+5y=13

$$5 x - 2 y = 1 ; 3 x + 5 y = 13$$

Izračunaj x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Koraci korištenja supstitucije

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za x tako da izdvojite x s lijeve strane znaka jednakosti.

$$5x-2y=1$$

Dodajte 2y objema stranama jednadžbe.

$$5x=2y+1$$

Podijelite obje strane sa 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+1\right)$$

Pomnožite \frac{1}{5} i 2y+1.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}$$

Supstituirajte \frac{2y+1}{5} s x u drugoj jednadžbi, 3x+5y=13.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}\right)+5y=13$$

Pomnožite 3 i \frac{2y+1}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{3}{5}+5y=13$$

Dodaj \frac{6y}{5} broju 5y.

$$\frac{31}{5}y+\frac{3}{5}=13$$

Oduzmite \frac{3}{5} od obiju strana jednadžbe.

$$\frac{31}{5}y=\frac{62}{5}$$

Podijelite obje strane jednadžbe s \frac{31}{5}, što je isto kao da pomnožite obje strane recipročnim razlomkom.

$$y=2$$

Supstituirajte 2 s y u izrazu x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{1}{5}$$

Pomnožite \frac{2}{5} i 2.

$$x=\frac{4+1}{5}$$

Dodajte \frac{1}{5} broju \frac{4}{5} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x=1$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=1,y=2$$

Koraci korištenja matrica

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{2}{31}\\-\frac{3}{31}&\frac{5}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}+\frac{2}{31}\times 13\\-\frac{3}{31}+\frac{5}{31}\times 13\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=1,y=2$$

Koraci korištenja eliminacije

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Da biste izjednačili 5x i 3x, pomnožite sve izraze s obje strane prve jednadžbe s 3 i sve izraze s obje strane druge jednadžbe s 5.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3,5\times 3x+5\times 5y=5\times 13$$

Pojednostavnite.

$$15x-6y=3,15x+25y=65$$

Oduzmite 15x+25y=65 od 15x-6y=3 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$15x-15x-6y-25y=3-65$$

Dodaj 15x broju -15x. Uvjeti 15x i -15x se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$-6y-25y=3-65$$

Dodaj -6y broju -25y.

$$-31y=3-65$$

Dodaj 3 broju -65.

$$-31y=-62$$

Podijelite obje strane sa -31.

$$y=2$$

Supstituirajte 2 s y u izrazu 3x+5y=13. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$3x+5\times 2=13$$

Pomnožite 5 i 2.

$$3x+10=13$$

Oduzmite 10 od obiju strana jednadžbe.

$$3x=3$$

Podijelite obje strane sa 3.

$$x=1$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=1,y=2$$