Riješi 5x+2y=12text{and}3x-2y=4

$$5 x + 2 y = 12 \text { and } 3 x - 2 y = 4$$

Izračunaj x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Koraci korištenja supstitucije

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$5x+2y=12,3x-2y=4$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za x tako da izdvojite x s lijeve strane znaka jednakosti.

$$5x+2y=12$$

Oduzmite 2y od obiju strana jednadžbe.

$$5x=-2y+12$$

Podijelite obje strane sa 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+12\right)$$

Pomnožite \frac{1}{5} i -2y+12.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{12}{5}$$

Supstituirajte \frac{-2y+12}{5} s x u drugoj jednadžbi, 3x-2y=4.

$$3\left(-\frac{2}{5}y+\frac{12}{5}\right)-2y=4$$

Pomnožite 3 i \frac{-2y+12}{5}.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{36}{5}-2y=4$$

Dodaj -\frac{6y}{5} broju -2y.

$$-\frac{16}{5}y+\frac{36}{5}=4$$

Oduzmite \frac{36}{5} od obiju strana jednadžbe.

$$-\frac{16}{5}y=-\frac{16}{5}$$

Podijelite obje strane jednadžbe s -\frac{16}{5}, što je isto kao da pomnožite obje strane recipročnim razlomkom.

$$y=1$$

Supstituirajte 1 s y u izrazu x=-\frac{2}{5}y+\frac{12}{5}. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$x=\frac{-2+12}{5}$$

Dodajte \frac{12}{5} broju -\frac{2}{5} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x=2$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=2,y=1$$

Koraci korištenja matrica

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$5x+2y=12,3x-2y=4$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-2\times 3}&-\frac{2}{5\left(-2\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-2\times 3}&\frac{5}{5\left(-2\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{3}{16}&-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 12+\frac{1}{8}\times 4\\\frac{3}{16}\times 12-\frac{5}{16}\times 4\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=2,y=1$$

Koraci korištenja eliminacije

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$5x+2y=12,3x-2y=4$$

Da biste izjednačili 5x i 3x, pomnožite sve izraze s obje strane prve jednadžbe s 3 i sve izraze s obje strane druge jednadžbe s 5.

$$3\times 5x+3\times 2y=3\times 12,5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\times 4$$

Pojednostavnite.

$$15x+6y=36,15x-10y=20$$

Oduzmite 15x-10y=20 od 15x+6y=36 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$15x-15x+6y+10y=36-20$$

Dodaj 15x broju -15x. Uvjeti 15x i -15x se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$6y+10y=36-20$$

Dodaj 6y broju 10y.

$$16y=36-20$$

Dodaj 36 broju -20.

$$16y=16$$

Podijelite obje strane sa 16.

$$y=1$$

Supstituirajte 1 s y u izrazu 3x-2y=4. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$3x-2=4$$

Dodajte 2 objema stranama jednadžbe.

$$3x=6$$

Podijelite obje strane sa 3.

$$x=2$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=2,y=1$$