Riješi 5x^2-x-2184=0

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

Izračunaj x

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20,8$$

$$x=21$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore pomoću grupiranja

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao 5x^{2}+ax+bx-2184. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji će biti riješiti.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

Budući da je ab negativan, a i b suprotnu znakovi. Budući da je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivne vrijednosti. Navedi sve kao cijeli broj koji daje -10920 proizvoda.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

Rješenje je par koji daje zbroj -1.

$$a=-105 b=104$$

Izrazite 5x^{2}-x-2184 kao \left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right).

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

Faktor 5x u prvom i 104 u drugoj grupi.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

Faktor uobičajeni termin x-21 korištenjem distribucije svojstva.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite x-21=0 i 5x+104=0.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 5 s a, -1 s b i -2184 s c.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Pomnožite -4 i 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Pomnožite -20 i -2184.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

Dodaj 1 broju 43680.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 43681.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

Broj suprotan broju -1 jest 1.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

Pomnožite 2 i 5.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{1±209}{10} kad je ± plus. Dodaj 1 broju 209.

$$x=\frac{210}{10}$$

Podijelite 210 s 10.

$$x=21$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{1±209}{10} kad je ± minus. Oduzmite 209 od 1.

$$x=-\frac{208}{10}$$

Skratite razlomak \frac{-208}{10} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 2.

$$x=-\frac{104}{5}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Koraci za računanje kvadrata

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Dodajte 2184 objema stranama jednadžbe.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

Oduzimanje -2184 samog od sebe dobiva se 0.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

Oduzmite -2184 od 0.

$$5x^{2}-x=2184$$

Podijelite obje strane sa 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

Dijeljenjem s 5 poništava se množenje s 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

Podijelite -\frac{1}{5}, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili -\frac{1}{10}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte -\frac{1}{10} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Kvadrirajte -\frac{1}{10} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

Dodajte \frac{2184}{5} broju \frac{1}{100} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Općenito, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uzeti u obzir kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

Pojednostavnite.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

Dodajte \frac{1}{10} objema stranama jednadžbe.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$