Riješi 5x^2-29x-42=0

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

Izračunaj x

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1,2$$

$$x=7$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore pomoću grupiranja

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao 5x^{2}+ax+bx-42. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji će biti riješiti.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

Budući da je ab negativan, a i b suprotnu znakovi. Budući da je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivne vrijednosti. Navedi sve kao cijeli broj koji daje -210 proizvoda.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Rješenje je par koji daje zbroj -29.

$$a=-35 b=6$$

Izrazite 5x^{2}-29x-42 kao \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

Faktor 5x u prvom i 6 u drugoj grupi.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Faktor uobičajeni termin x-7 korištenjem distribucije svojstva.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite x-7=0 i 5x+6=0.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 5 s a, -29 s b i -42 s c.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrirajte -29.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Pomnožite -4 i 5.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Pomnožite -20 i -42.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

Dodaj 841 broju 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

Broj suprotan broju -29 jest 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

Pomnožite 2 i 5.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{29±41}{10} kad je ± plus. Dodaj 29 broju 41.

$$x=\frac{70}{10}$$

Podijelite 70 s 10.

$$x=7$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{29±41}{10} kad je ± minus. Oduzmite 41 od 29.

$$x=-\frac{12}{10}$$

Skratite razlomak \frac{-12}{10} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 2.

$$x=-\frac{6}{5}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Koraci za računanje kvadrata

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Dodajte 42 objema stranama jednadžbe.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Oduzimanje -42 samog od sebe dobiva se 0.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

Oduzmite -42 od 0.

$$5x^{2}-29x=42$$

Podijelite obje strane sa 5.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

Dijeljenjem s 5 poništava se množenje s 5.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

Podijelite -\frac{29}{5}, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili -\frac{29}{10}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte -\frac{29}{10} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

Kvadrirajte -\frac{29}{10} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

Dodajte \frac{42}{5} broju \frac{841}{100} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

Faktor x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}. Općenito, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uzeti u obzir kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

Pojednostavnite.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

Dodajte \frac{29}{10} objema stranama jednadžbe.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$