Riješi 49x-57y=172;quad57x-49y=252

$$49 x - 57 y = 172 ; \quad 57 x - 49 y = 252$$

Izračunaj x, y

$$x=7$$

$$y=3$$

Koraci korištenja supstitucije

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$49x-57y=172,57x-49y=252$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za x tako da izdvojite x s lijeve strane znaka jednakosti.

$$49x-57y=172$$

Dodajte 57y objema stranama jednadžbe.

$$49x=57y+172$$

Podijelite obje strane sa 49.

$$x=\frac{1}{49}\left(57y+172\right)$$

Pomnožite \frac{1}{49} i 57y+172.

$$x=\frac{57}{49}y+\frac{172}{49}$$

Supstituirajte \frac{57y+172}{49} s x u drugoj jednadžbi, 57x-49y=252.

$$57\left(\frac{57}{49}y+\frac{172}{49}\right)-49y=252$$

Pomnožite 57 i \frac{57y+172}{49}.

$$\frac{3249}{49}y+\frac{9804}{49}-49y=252$$

Dodaj \frac{3249y}{49} broju -49y.

$$\frac{848}{49}y+\frac{9804}{49}=252$$

Oduzmite \frac{9804}{49} od obiju strana jednadžbe.

$$\frac{848}{49}y=\frac{2544}{49}$$

Podijelite obje strane jednadžbe s \frac{848}{49}, što je isto kao da pomnožite obje strane recipročnim razlomkom.

$$y=3$$

Supstituirajte 3 s y u izrazu x=\frac{57}{49}y+\frac{172}{49}. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$x=\frac{57}{49}\times 3+\frac{172}{49}$$

Pomnožite \frac{57}{49} i 3.

$$x=\frac{171+172}{49}$$

Dodajte \frac{172}{49} broju \frac{171}{49} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x=7$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=7,y=3$$

Koraci korištenja matrica

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$49x-57y=172,57x-49y=252$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}49&-57\\57&-49\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}172\\252\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}49&-57\\57&-49\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}49&-57\\57&-49\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}49&-57\\57&-49\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}49&-57\\57&-49\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}172\\252\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}49&-57\\57&-49\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}172\\252\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}49&-57\\57&-49\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}172\\252\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{49}{49\left(-49\right)-\left(-57\times 57\right)}&-\frac{-57}{49\left(-49\right)-\left(-57\times 57\right)}\\-\frac{57}{49\left(-49\right)-\left(-57\times 57\right)}&\frac{49}{49\left(-49\right)-\left(-57\times 57\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}172\\252\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{49}{848}&\frac{57}{848}\\-\frac{57}{848}&\frac{49}{848}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}172\\252\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{49}{848}\times 172+\frac{57}{848}\times 252\\-\frac{57}{848}\times 172+\frac{49}{848}\times 252\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=7,y=3$$

Koraci korištenja eliminacije

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$49x-57y=172,57x-49y=252$$

Da biste izjednačili 49x i 57x, pomnožite sve izraze s obje strane prve jednadžbe s 57 i sve izraze s obje strane druge jednadžbe s 49.

$$57\times 49x+57\left(-57\right)y=57\times 172,49\times 57x+49\left(-49\right)y=49\times 252$$

Pojednostavnite.

$$2793x-3249y=9804,2793x-2401y=12348$$

Oduzmite 2793x-2401y=12348 od 2793x-3249y=9804 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$2793x-2793x-3249y+2401y=9804-12348$$

Dodaj 2793x broju -2793x. Uvjeti 2793x i -2793x se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$-3249y+2401y=9804-12348$$

Dodaj -3249y broju 2401y.

$$-848y=9804-12348$$

Dodaj 9804 broju -12348.

$$-848y=-2544$$

Podijelite obje strane sa -848.

$$y=3$$

Supstituirajte 3 s y u izrazu 57x-49y=252. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$57x-49\times 3=252$$

Pomnožite -49 i 3.

$$57x-147=252$$

Dodajte 147 objema stranama jednadžbe.

$$57x=399$$

Podijelite obje strane sa 57.

$$x=7$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=7,y=3$$