Riješi 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Izračunaj x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0,214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore pomoću grupiranja

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao 42x^{2}+ax+bx-3. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji će biti riješiti.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

Budući da je ab negativan, a i b suprotnu znakovi. Budući da je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivne vrijednosti. Navedi sve kao cijeli broj koji daje -126 proizvoda.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

Rješenje je par koji daje zbroj -5.

$$a=-14 b=9$$

Izrazite 42x^{2}-5x-3 kao \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

Faktor 14x u prvom i 3 u drugoj grupi.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Faktor uobičajeni termin 3x-1 korištenjem distribucije svojstva.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite 3x-1=0 i 14x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 42 s a, -5 s b i -3 s c.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Kvadrirajte -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Pomnožite -4 i 42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Pomnožite -168 i -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Dodaj 25 broju 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 529.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

Broj suprotan broju -5 jest 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

Pomnožite 2 i 42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{5±23}{84} kad je ± plus. Dodaj 5 broju 23.

$$x=\frac{28}{84}$$

Skratite razlomak \frac{28}{84} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 28.

$$x=\frac{1}{3}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{5±23}{84} kad je ± minus. Oduzmite 23 od 5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

Skratite razlomak \frac{-18}{84} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 6.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Koraci za računanje kvadrata

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Dodajte 3 objema stranama jednadžbe.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Oduzimanje -3 samog od sebe dobiva se 0.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Oduzmite -3 od 0.

$$42x^{2}-5x=3$$

Podijelite obje strane sa 42.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

Dijeljenjem s 42 poništava se množenje s 42.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

Skratite razlomak \frac{3}{42} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 3.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

Podijelite -\frac{5}{42}, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili -\frac{5}{84}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte -\frac{5}{84} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

Kvadrirajte -\frac{5}{84} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Dodajte \frac{1}{14} broju \frac{25}{7056} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}. Općenito, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uzeti u obzir kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Pojednostavnite.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Dodajte \frac{5}{84} objema stranama jednadžbe.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$