Riješi 4x-y=5text{and}5y-4x=7

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Izračunaj x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Koraci korištenja supstitucije

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za x tako da izdvojite x s lijeve strane znaka jednakosti.

$$4x-y=5$$

Dodajte y objema stranama jednadžbe.

$$4x=y+5$$

Podijelite obje strane sa 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

Pomnožite \frac{1}{4} i y+5.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Supstituirajte \frac{5+y}{4} s x u drugoj jednadžbi, -4x+5y=7.

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

Pomnožite -4 i \frac{5+y}{4}.

$$-y-5+5y=7$$

Dodaj -y broju 5y.

$$4y-5=7$$

Dodajte 5 objema stranama jednadžbe.

$$4y=12$$

Podijelite obje strane sa 4.

$$y=3$$

Supstituirajte 3 s y u izrazu x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

Pomnožite \frac{1}{4} i 3.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Dodajte \frac{5}{4} broju \frac{3}{4} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x=2$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=2,y=3$$

Koraci korištenja matrica

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=2,y=3$$

Koraci korištenja eliminacije

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Da biste izjednačili 4x i -4x, pomnožite sve izraze s obje strane prve jednadžbe s -4 i sve izraze s obje strane druge jednadžbe s 4.

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

Pojednostavnite.

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

Oduzmite -16x+20y=28 od -16x+4y=-20 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

Dodaj -16x broju 16x. Uvjeti -16x i 16x se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$4y-20y=-20-28$$

Dodaj 4y broju -20y.

$$-16y=-20-28$$

Dodaj -20 broju -28.

$$-16y=-48$$

Podijelite obje strane sa -16.

$$y=3$$

Supstituirajte 3 s y u izrazu -4x+5y=7. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$-4x+5\times 3=7$$

Pomnožite 5 i 3.

$$-4x+15=7$$

Oduzmite 15 od obiju strana jednadžbe.

$$-4x=-8$$

Podijelite obje strane sa -4.

$$x=2$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=2,y=3$$