Riješi 4x-5y=2text{and}x+10y=41

$$4 x - 5 y = 2 \text { and } x + 10 y = 41$$

Izračunaj x, y

$$x=5$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3,6$$

Koraci korištenja supstitucije

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za x tako da izdvojite x s lijeve strane znaka jednakosti.

$$4x-5y=2$$

Dodajte 5y objema stranama jednadžbe.

$$4x=5y+2$$

Podijelite obje strane sa 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+2\right)$$

Pomnožite \frac{1}{4} i 5y+2.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

Supstituirajte \frac{5y}{4}+\frac{1}{2} s x u drugoj jednadžbi, x+10y=41.

$$\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}+10y=41$$

Dodaj \frac{5y}{4} broju 10y.

$$\frac{45}{4}y+\frac{1}{2}=41$$

Oduzmite \frac{1}{2} od obiju strana jednadžbe.

$$\frac{45}{4}y=\frac{81}{2}$$

Podijelite obje strane jednadžbe s \frac{45}{4}, što je isto kao da pomnožite obje strane recipročnim razlomkom.

$$y=\frac{18}{5}$$

Supstituirajte \frac{18}{5} s y u izrazu x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$x=\frac{5}{4}\times \frac{18}{5}+\frac{1}{2}$$

Pomnožite \frac{5}{4} i \frac{18}{5} tako da pomnožite brojnik s brojnikom i nazivnik s nazivnikom. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x=\frac{9+1}{2}$$

Dodajte \frac{1}{2} broju \frac{9}{2} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x=5$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Koraci korištenja matrica

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{4\times 10-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{4\times 10-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{4\times 10-\left(-5\right)}&\frac{4}{4\times 10-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{45}&\frac{4}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 2+\frac{1}{9}\times 41\\-\frac{1}{45}\times 2+\frac{4}{45}\times 41\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Koraci korištenja eliminacije

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Da biste izjednačili 4x i x, pomnožite sve izraze s obje strane prve jednadžbe s 1 i sve izraze s obje strane druge jednadžbe s 4.

$$4x-5y=2,4x+4\times 10y=4\times 41$$

Pojednostavnite.

$$4x-5y=2,4x+40y=164$$

Oduzmite 4x+40y=164 od 4x-5y=2 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$4x-4x-5y-40y=2-164$$

Dodaj 4x broju -4x. Uvjeti 4x i -4x se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$-5y-40y=2-164$$

Dodaj -5y broju -40y.

$$-45y=2-164$$

Dodaj 2 broju -164.

$$-45y=-162$$

Podijelite obje strane sa -45.

$$y=\frac{18}{5}$$

Supstituirajte \frac{18}{5} s y u izrazu x+10y=41. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$x+10\times \frac{18}{5}=41$$

Pomnožite 10 i \frac{18}{5}.

$$x+36=41$$

Oduzmite 36 od obiju strana jednadžbe.

$$x=5$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$