Riješi 4x-5y=-14text{and}7x+y=-5

$$4 x - 5 y = - 14 \text { and } 7 x + y = - 5$$

Izračunaj x, y

$$x=-1$$

$$y=2$$

Koraci korištenja supstitucije

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za x tako da izdvojite x s lijeve strane znaka jednakosti.

$$4x-5y=-14$$

Dodajte 5y objema stranama jednadžbe.

$$4x=5y-14$$

Podijelite obje strane sa 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-14\right)$$

Pomnožite \frac{1}{4} i 5y-14.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}$$

Supstituirajte \frac{5y}{4}-\frac{7}{2} s x u drugoj jednadžbi, 7x+y=-5.

$$7\left(\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}\right)+y=-5$$

Pomnožite 7 i \frac{5y}{4}-\frac{7}{2}.

$$\frac{35}{4}y-\frac{49}{2}+y=-5$$

Dodaj \frac{35y}{4} broju y.

$$\frac{39}{4}y-\frac{49}{2}=-5$$

Dodajte \frac{49}{2} objema stranama jednadžbe.

$$\frac{39}{4}y=\frac{39}{2}$$

Podijelite obje strane jednadžbe s \frac{39}{4}, što je isto kao da pomnožite obje strane recipročnim razlomkom.

$$y=2$$

Supstituirajte 2 s y u izrazu x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$x=\frac{5}{4}\times 2-\frac{7}{2}$$

Pomnožite \frac{5}{4} i 2.

$$x=\frac{5-7}{2}$$

Dodajte -\frac{7}{2} broju \frac{5}{2} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x=-1$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=-1,y=2$$

Koraci korištenja matrica

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{7}{39}&\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}\left(-14\right)+\frac{5}{39}\left(-5\right)\\-\frac{7}{39}\left(-14\right)+\frac{4}{39}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=-1,y=2$$

Koraci korištenja eliminacije

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Da biste izjednačili 4x i 7x, pomnožite sve izraze s obje strane prve jednadžbe s 7 i sve izraze s obje strane druge jednadžbe s 4.

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\left(-14\right),4\times 7x+4y=4\left(-5\right)$$

Pojednostavnite.

$$28x-35y=-98,28x+4y=-20$$

Oduzmite 28x+4y=-20 od 28x-35y=-98 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$28x-28x-35y-4y=-98+20$$

Dodaj 28x broju -28x. Uvjeti 28x i -28x se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$-35y-4y=-98+20$$

Dodaj -35y broju -4y.

$$-39y=-98+20$$

Dodaj -98 broju 20.

$$-39y=-78$$

Podijelite obje strane sa -39.

$$y=2$$

Supstituirajte 2 s y u izrazu 7x+y=-5. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$7x+2=-5$$

Oduzmite 2 od obiju strana jednadžbe.

$$7x=-7$$

Podijelite obje strane sa 7.

$$x=-1$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=-1,y=2$$