Riješi 4x-3y=2text{and}x+5y=-11

$$4 x - 3 y = 2 \text { and } x + 5 y = - 11$$

Izračunaj x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Koraci korištenja supstitucije

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za x tako da izdvojite x s lijeve strane znaka jednakosti.

$$4x-3y=2$$

Dodajte 3y objema stranama jednadžbe.

$$4x=3y+2$$

Podijelite obje strane sa 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+2\right)$$

Pomnožite \frac{1}{4} i 3y+2.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}$$

Supstituirajte \frac{3y}{4}+\frac{1}{2} s x u drugoj jednadžbi, x+5y=-11.

$$\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}+5y=-11$$

Dodaj \frac{3y}{4} broju 5y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{1}{2}=-11$$

Oduzmite \frac{1}{2} od obiju strana jednadžbe.

$$\frac{23}{4}y=-\frac{23}{2}$$

Podijelite obje strane jednadžbe s \frac{23}{4}, što je isto kao da pomnožite obje strane recipročnim razlomkom.

$$y=-2$$

Supstituirajte -2 s y u izrazu x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

Pomnožite \frac{3}{4} i -2.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Dodajte \frac{1}{2} broju -\frac{3}{2} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x=-1$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=-1,y=-2$$

Koraci korištenja matrica

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4\times 5-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 2+\frac{3}{23}\left(-11\right)\\-\frac{1}{23}\times 2+\frac{4}{23}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=-1,y=-2$$

Koraci korištenja eliminacije

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Da biste izjednačili 4x i x, pomnožite sve izraze s obje strane prve jednadžbe s 1 i sve izraze s obje strane druge jednadžbe s 4.

$$4x-3y=2,4x+4\times 5y=4\left(-11\right)$$

Pojednostavnite.

$$4x-3y=2,4x+20y=-44$$

Oduzmite 4x+20y=-44 od 4x-3y=2 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$4x-4x-3y-20y=2+44$$

Dodaj 4x broju -4x. Uvjeti 4x i -4x se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$-3y-20y=2+44$$

Dodaj -3y broju -20y.

$$-23y=2+44$$

Dodaj 2 broju 44.

$$-23y=46$$

Podijelite obje strane sa -23.

$$y=-2$$

Supstituirajte -2 s y u izrazu x+5y=-11. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$x+5\left(-2\right)=-11$$

Pomnožite 5 i -2.

$$x-10=-11$$

Dodajte 10 objema stranama jednadžbe.

$$x=-1$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=-1,y=-2$$