Riješi 4x^2-4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

Izračunaj x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore pomoću grupiranja

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao 4x^{2}+ax+bx+1. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji treba riješiti.

$$a+b=-4 ab=4\times 1=4$$

Budući da je ab pozitivan, a i b imaju isti znak. Budući da je a+b negativan, a i b su negativni. Navedite sve takve parove cijelih brojeva koji proizvode 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Rješenje je par koji daje zbroj -4.

$$a=-2 b=-2$$

Izrazite 4x^{2}-4x+1 kao \left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Izlučite 2x iz prve i -1 iz druge grupe.

$$2x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Izlučite zajednički izraz 2x-1 pomoću svojstva distribucije.

$$\left(2x-1\right)\left(2x-1\right)$$

Ponovno napišite kao kvadrat binoma.

$$\left(2x-1\right)^{2}$$

Da biste pronašli rješenje jednadžbe, riješite 2x-1=0.

$$x=\frac{1}{2}$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 4 s a, -4 s b i 1 s c.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Kvadrirajte -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 i 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Dodaj 16 broju -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 0.

$$x=-\frac{-4}{2\times 4}$$

Broj suprotan broju -4 jest 4.

$$x=\frac{4}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 i 4.

$$x=\frac{4}{8}$$

Skratite razlomak \frac{4}{8} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Koraci za računanje kvadrata

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Oduzmite 1 od obiju strana jednadžbe.

$$4x^{2}-4x+1-1=-1$$

Oduzimanje 1 samog od sebe dobiva se 0.

$$4x^{2}-4x=-1$$

Podijelite obje strane sa 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Dijeljenjem s 4 poništava se množenje s 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=-\frac{1}{4}$$

Podijelite -4 s 4.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{4}$$

Podijelite -1, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili -\frac{1}{2}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte -\frac{1}{2} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrirajte -\frac{1}{2} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Dodajte -\frac{1}{4} broju \frac{1}{4} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$$

Rastavite x^{2}-x+\frac{1}{4} na faktore. Općenito, kad je x^{2}+bx+c kvadratni broj, uvijek se može rastaviti na faktore kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Pojednostavnite.

$$x-\frac{1}{2}=0 x-\frac{1}{2}=0$$

Dodajte \frac{1}{2} objema stranama jednadžbe.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}$$

Jednadžba je sada riješena. Rješenja su jednaka.

$$x=\frac{1}{2}$$