Riješi 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

Izračunaj n

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2,75$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore pomoću grupiranja

Oduzmite 11 od obiju strana.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao 4n^{2}+an+bn-11. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji treba riješiti.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Budući da je ab negativan, a i b imaju suprotne znakove. Budući da je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivne. Navedite sve takve parove cijelih brojeva koji proizvode -44.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Rješenje je par koji daje zbroj -7.

$$a=-11 b=4$$

Izrazite 4n^{2}-7n-11 kao \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right).

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

Izlučite n iz 4n^{2}-11n.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

Izlučite zajednički izraz 4n-11 pomoću svojstva distribucije.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite 4n-11=0 i n+1=0.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$4n^{2}-7n=11$$

Oduzmite 11 od obiju strana jednadžbe.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

Oduzimanje 11 samog od sebe dobiva se 0.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 4 s a, -7 s b i -11 s c.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrirajte -7.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 i 4.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 i -11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

Dodaj 49 broju 176.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 225.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

Broj suprotan broju -7 jest 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 i 4.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

Sada riješite jednadžbu n=\frac{7±15}{8} kad je ± plus. Dodaj 7 broju 15.

$$n=\frac{22}{8}$$

Skratite razlomak \frac{22}{8} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 2.

$$n=\frac{11}{4}$$

Sada riješite jednadžbu n=\frac{7±15}{8} kad je ± minus. Oduzmite 15 od 7.

$$n=-\frac{8}{8}$$

Podijelite -8 s 8.

$$n=-1$$

Jednadžba je sada riješena.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Koraci za računanje kvadrata

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}-7n=11$$

Podijelite obje strane sa 4.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

Dijeljenjem s 4 poništava se množenje s 4.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

Podijelite -\frac{7}{4}, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili -\frac{7}{8}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte -\frac{7}{8} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Kvadrirajte -\frac{7}{8} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Dodajte \frac{11}{4} broju \frac{49}{64} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

Rastavite n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64} na faktore. Općenito, kad je x^{2}+bx+c kvadratni broj, uvijek se može rastaviti na faktore kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Pojednostavnite.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Dodajte \frac{7}{8} objema stranama jednadžbe.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$