Riješi 4x^2-4x-15=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-15 = 0$$

Izračunaj x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore pomoću grupiranja

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao 4x^{2}+ax+bx-15. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji će biti riješiti.

$$a+b=-4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Budući da je ab negativan, a i b suprotnu znakovi. Budući da je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivne vrijednosti. Navedi sve kao cijeli broj koji daje -60 proizvoda.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Rješenje je par koji daje zbroj -4.

$$a=-10 b=6$$

Izrazite 4x^{2}-4x-15 kao \left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)$$

Faktor 2x u prvom i 3 u drugoj grupi.

$$2x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Faktor uobičajeni termin 2x-5 korištenjem distribucije svojstva.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite 2x-5=0 i 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 4 s a, -4 s b i -15 s c.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrirajte -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 i 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 i -15.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

Dodaj 16 broju 240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 4}$$

Broj suprotan broju -4 jest 4.

$$x=\frac{4±16}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 i 4.

$$x=\frac{4±16}{8}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{4±16}{8} kad je ± plus. Dodaj 4 broju 16.

$$x=\frac{20}{8}$$

Skratite razlomak \frac{20}{8} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{4±16}{8} kad je ± minus. Oduzmite 16 od 4.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Skratite razlomak \frac{-12}{8} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Koraci za računanje kvadrata

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Dodajte 15 objema stranama jednadžbe.

$$4x^{2}-4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Oduzimanje -15 samog od sebe dobiva se 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-15\right)$$

Oduzmite -15 od 0.

$$4x^{2}-4x=15$$

Podijelite obje strane sa 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{15}{4}$$

Dijeljenjem s 4 poništava se množenje s 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{15}{4}$$

Podijelite -4 s 4.

$$x^{2}-x=\frac{15}{4}$$

Podijelite -1, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili -\frac{1}{2}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte -\frac{1}{2} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrirajte -\frac{1}{2} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

Dodajte \frac{15}{4} broju \frac{1}{4} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Općenito, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uzeti u obzir kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Pojednostavnite.

$$x-\frac{1}{2}=2 x-\frac{1}{2}=-2$$

Dodajte \frac{1}{2} objema stranama jednadžbe.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$