Riješi 4x^2-2x-1=0

$$4 { x }^{ 2 } -2x-1=0$$

Izračunaj x

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\approx 0,809016994$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}\approx -0,309016994$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$4x^{2}-2x-1=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 4 s a, -2 s b i -1 s c.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrirajte -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 i 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 i -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16}}{2\times 4}$$

Dodaj 4 broju 16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{20}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 20.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{5}}{2\times 4}$$

Broj suprotan broju -2 jest 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 i 4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{8}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{2±2\sqrt{5}}{8} kad je ± plus. Dodaj 2 broju 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+2}{8}$$

Podijelite 2+2\sqrt{5} s 8.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{2±2\sqrt{5}}{8} kad je ± minus. Oduzmite 2\sqrt{5} od 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{5}}{8}$$

Podijelite 2-2\sqrt{5} s 8.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$

Koraci za računanje kvadrata

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-2x-1=0$$

Dodajte 1 objema stranama jednadžbe.

$$4x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Oduzimanje -1 samog od sebe dobiva se 0.

$$4x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

Oduzmite -1 od 0.

$$4x^{2}-2x=1$$

Podijelite obje strane sa 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=\frac{1}{4}$$

Dijeljenjem s 4 poništava se množenje s 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=\frac{1}{4}$$

Skratite razlomak \frac{-2}{4} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}$$

Podijelite -\frac{1}{2}, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili -\frac{1}{4}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte -\frac{1}{4} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kvadrirajte -\frac{1}{4} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}$$

Dodajte \frac{1}{4} broju \frac{1}{16} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Općenito, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uzeti u obzir kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{16}$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{16}}$$

Pojednostavnite.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{5}}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{5}}{4}$$

Dodajte \frac{1}{4} objema stranama jednadžbe.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$