Riješi 3x-5y=4;9x-2y=7

$$3 x - 5 y = 4 ; 9 x - 2 y = 7$$

Izračunaj x, y

$$x=\frac{9}{13}\approx 0,692307692$$

$$y=-\frac{5}{13}\approx -0,384615385$$

Koraci korištenja supstitucije

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za x tako da izdvojite x s lijeve strane znaka jednakosti.

$$3x-5y=4$$

Dodajte 5y objema stranama jednadžbe.

$$3x=5y+4$$

Podijelite obje strane sa 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

Pomnožite \frac{1}{3} i 5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Supstituirajte \frac{5y+4}{3} s x u drugoj jednadžbi, 9x-2y=7.

$$9\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=7$$

Pomnožite 9 i \frac{5y+4}{3}.

$$15y+12-2y=7$$

Dodaj 15y broju -2y.

$$13y+12=7$$

Oduzmite 12 od obiju strana jednadžbe.

$$13y=-5$$

Podijelite obje strane sa 13.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Supstituirajte -\frac{5}{13} s y u izrazu x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{3}$$

Pomnožite \frac{5}{3} i -\frac{5}{13} tako da pomnožite brojnik s brojnikom i nazivnik s nazivnikom. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{4}{3}$$

Dodajte \frac{4}{3} broju -\frac{25}{39} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x=\frac{9}{13}$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Koraci korištenja matrica

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovno napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}\times 4+\frac{5}{39}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Koraci korištenja eliminacije

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Da biste izjednačili 3x i 9x, pomnožite sve izraze s obje strane prve jednadžbe s 9 i sve izraze s obje strane druge jednadžbe s 3.

$$9\times 3x+9\left(-5\right)y=9\times 4,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

Pojednostavnite.

$$27x-45y=36,27x-6y=21$$

Oduzmite 27x-6y=21 od 27x-45y=36 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$27x-27x-45y+6y=36-21$$

Dodaj 27x broju -27x. Izrazi 27x i -27x skraćuju se, ostavljajući jednadžbu samo s jednom varijablom, koja se može riješiti.

$$-45y+6y=36-21$$

Dodaj -45y broju 6y.

$$-39y=36-21$$

Dodaj 36 broju -21.

$$-39y=15$$

Podijelite obje strane sa -39.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Supstituirajte -\frac{5}{13} s y u izrazu 9x-2y=7. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$9x-2\left(-\frac{5}{13}\right)=7$$

Pomnožite -2 i -\frac{5}{13}.

$$9x+\frac{10}{13}=7$$

Oduzmite \frac{10}{13} od obiju strana jednadžbe.

$$9x=\frac{81}{13}$$

Podijelite obje strane sa 9.

$$x=\frac{9}{13}$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$