Riješi 3x^2-32x+84=0

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

Izračunaj x

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4,666666667$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore pomoću grupiranja

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao 3x^{2}+ax+bx+84. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji će biti riješiti.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

Budući da je ab pozitivni, a i b imaju isti znak. Budući da je a+b negativan, a i b su negativni. Navedi sve kao cijeli broj koji daje 252 proizvoda.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

Rješenje je par koji daje zbroj -32.

$$a=-18 b=-14$$

Izrazite 3x^{2}-32x+84 kao \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

Faktor 3x u prvom i -14 u drugoj grupi.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

Faktor uobičajeni termin x-6 korištenjem distribucije svojstva.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite x-6=0 i 3x-14=0.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 3 s a, -32 s b i 84 s c.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Kvadrirajte -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 i 84.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

Dodaj 1024 broju -1008.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 16.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

Broj suprotan broju -32 jest 32.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{32±4}{6} kad je ± plus. Dodaj 32 broju 4.

$$x=\frac{36}{6}$$

Podijelite 36 s 6.

$$x=6$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{32±4}{6} kad je ± minus. Oduzmite 4 od 32.

$$x=\frac{28}{6}$$

Skratite razlomak \frac{28}{6} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 2.

$$x=\frac{14}{3}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Koraci za računanje kvadrata

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Oduzmite 84 od obiju strana jednadžbe.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

Oduzimanje 84 samog od sebe dobiva se 0.

$$3x^{2}-32x=-84$$

Podijelite obje strane sa 3.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

Dijeljenjem s 3 poništava se množenje s 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

Podijelite -84 s 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

Podijelite -\frac{32}{3}, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili -\frac{16}{3}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte -\frac{16}{3} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

Kvadrirajte -\frac{16}{3} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

Dodaj -28 broju \frac{256}{9}.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. Općenito, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uzeti u obzir kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Pojednostavnite.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

Dodajte \frac{16}{3} objema stranama jednadžbe.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$