Riješi 3x^2-23x+14=0

$$3 x ^ { 2 } - 23 x + 14 = 0$$

Izračunaj x

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

$$x=7$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore pomoću grupiranja

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao 3x^{2}+ax+bx+14. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji će biti riješiti.

$$a+b=-23 ab=3\times 14=42$$

Budući da je ab pozitivni, a i b imaju isti znak. Budući da je a+b negativan, a i b su negativni. Navedi sve kao cijeli broj koji daje 42 proizvoda.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Rješenje je par koji daje zbroj -23.

$$a=-21 b=-2$$

Izrazite 3x^{2}-23x+14 kao \left(3x^{2}-21x\right)+\left(-2x+14\right).

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-2x+14\right)$$

Faktor 3x u prvom i -2 u drugoj grupi.

$$3x\left(x-7\right)-2\left(x-7\right)$$

Faktor uobičajeni termin x-7 korištenjem distribucije svojstva.

$$\left(x-7\right)\left(3x-2\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite x-7=0 i 3x-2=0.

$$x=7 x=\frac{2}{3}$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$3x^{2}-23x+14=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 3 s a, -23 s b i 14 s c.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 3\times 14}}{2\times 3}$$

Kvadrirajte -23.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 3\times 14}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-12\times 14}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 i 14.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-168}}{2\times 3}$$

Dodaj 529 broju -168.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{361}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 361.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±19}{2\times 3}$$

Broj suprotan broju -23 jest 23.

$$x=\frac{23±19}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$x=\frac{23±19}{6}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{23±19}{6} kad je ± plus. Dodaj 23 broju 19.

$$x=\frac{42}{6}$$

Podijelite 42 s 6.

$$x=7$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{23±19}{6} kad je ± minus. Oduzmite 19 od 23.

$$x=\frac{4}{6}$$

Skratite razlomak \frac{4}{6} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 2.

$$x=\frac{2}{3}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=7 x=\frac{2}{3}$$

Koraci za računanje kvadrata

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-23x+14=0$$

Oduzmite 14 od obiju strana jednadžbe.

$$3x^{2}-23x+14-14=-14$$

Oduzimanje 14 samog od sebe dobiva se 0.

$$3x^{2}-23x=-14$$

Podijelite obje strane sa 3.

$$\frac{3x^{2}-23x}{3}=-\frac{14}{3}$$

Dijeljenjem s 3 poništava se množenje s 3.

$$x^{2}-\frac{23}{3}x=-\frac{14}{3}$$

Podijelite -\frac{23}{3}, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili -\frac{23}{6}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte -\frac{23}{6} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$x^{2}-\frac{23}{3}x+\left(-\frac{23}{6}\right)^{2}=-\frac{14}{3}+\left(-\frac{23}{6}\right)^{2}$$

Kvadrirajte -\frac{23}{6} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$x^{2}-\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}=-\frac{14}{3}+\frac{529}{36}$$

Dodajte -\frac{14}{3} broju \frac{529}{36} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x^{2}-\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}=\frac{361}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}. Općenito, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uzeti u obzir kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{6}\right)^{2}=\frac{361}{36}$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{36}}$$

Pojednostavnite.

$$x-\frac{23}{6}=\frac{19}{6} x-\frac{23}{6}=-\frac{19}{6}$$

Dodajte \frac{23}{6} objema stranama jednadžbe.

$$x=7 x=\frac{2}{3}$$