Riješi 3x^2-2x-16=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Izračunaj x

$$x=-2$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore pomoću grupiranja

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao 3x^{2}+ax+bx-16. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji će biti riješiti.

$$a+b=-2 ab=3\left(-16\right)=-48$$

Budući da je ab negativan, a i b suprotnu znakovi. Budući da je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivne vrijednosti. Navedi sve kao cijeli broj koji daje -48 proizvoda.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Rješenje je par koji daje zbroj -2.

$$a=-8 b=6$$

Izrazite 3x^{2}-2x-16 kao \left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right).

$$\left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right)$$

Faktor x u prvom i 2 u drugoj grupi.

$$x\left(3x-8\right)+2\left(3x-8\right)$$

Faktor uobičajeni termin 3x-8 korištenjem distribucije svojstva.

$$\left(3x-8\right)\left(x+2\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite 3x-8=0 i x+2=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 3 s a, -2 s b i -16 s c.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrirajte -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 i -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+192}}{2\times 3}$$

Dodaj 4 broju 192.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 196.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±14}{2\times 3}$$

Broj suprotan broju -2 jest 2.

$$x=\frac{2±14}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$x=\frac{2±14}{6}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{2±14}{6} kad je ± plus. Dodaj 2 broju 14.

$$x=\frac{16}{6}$$

Skratite razlomak \frac{16}{6} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 2.

$$x=\frac{8}{3}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{2±14}{6} kad je ± minus. Oduzmite 14 od 2.

$$x=-\frac{12}{6}$$

Podijelite -12 s 6.

$$x=-2$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Koraci za računanje kvadrata

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Dodajte 16 objema stranama jednadžbe.

$$3x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Oduzimanje -16 samog od sebe dobiva se 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Oduzmite -16 od 0.

$$3x^{2}-2x=16$$

Podijelite obje strane sa 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{16}{3}$$

Dijeljenjem s 3 poništava se množenje s 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{16}{3}$$

Podijelite -\frac{2}{3}, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili -\frac{1}{3}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte -\frac{1}{3} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kvadrirajte -\frac{1}{3} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{3}+\frac{1}{9}$$

Dodajte \frac{16}{3} broju \frac{1}{9} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Općenito, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uzeti u obzir kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Pojednostavnite.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}$$

Dodajte \frac{1}{3} objema stranama jednadžbe.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$