Riješi 3x^2+2x+1=0

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Izračunaj x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0,333333333+0,471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0,333333333-0,471404521i$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 3 s a, 2 s b i 1 s c.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Kvadrirajte 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2\times 3}$$

Dodaj 4 broju -12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od -8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} kad je ± plus. Dodaj -2 broju 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{6}$$

Podijelite -2+2i\sqrt{2} s 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} kad je ± minus. Oduzmite 2i\sqrt{2} od -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{6}$$

Podijelite -2-2i\sqrt{2} s 6.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Koraci za računanje kvadrata

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Oduzmite 1 od obiju strana jednadžbe.

$$3x^{2}+2x+1-1=-1$$

Oduzimanje 1 samog od sebe dobiva se 0.

$$3x^{2}+2x=-1$$

Podijelite obje strane sa 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Dijeljenjem s 3 poništava se množenje s 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Podijelite \frac{2}{3}, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili \frac{1}{3}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte \frac{1}{3} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kvadrirajte \frac{1}{3} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Dodajte -\frac{1}{3} broju \frac{1}{9} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Općenito, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uzeti u obzir kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

Pojednostavnite.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

Oduzmite \frac{1}{3} od obiju strana jednadžbe.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$