Riješi 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

Izračunaj x, y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Koraci korištenja supstitucije

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Oduzmite 6y od obiju strana.

$$3x+9-6y=0$$

Oduzmite 9 od obiju strana. Sve oduzeto od nule daje isti broj s negativnim predznakom.

$$3x-6y=-9$$

Pojednostavnite drugu jednadžbu. Dodajte 12 na obje strane. Sve plus nula jednako je sebi.

$$-2x-2y=12$$

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za x tako da izdvojite x s lijeve strane znaka jednakosti.

$$3x-6y=-9$$

Dodajte 6y objema stranama jednadžbe.

$$3x=6y-9$$

Podijelite obje strane sa 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

Pomnožite \frac{1}{3} i 6y-9.

$$x=2y-3$$

Supstituirajte 2y-3 s x u drugoj jednadžbi, -2x-2y=12.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

Pomnožite -2 i 2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

Dodaj -4y broju -2y.

$$-6y+6=12$$

Oduzmite 6 od obiju strana jednadžbe.

$$-6y=6$$

Podijelite obje strane sa -6.

$$y=-1$$

Supstituirajte -1 s y u izrazu x=2y-3. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

Pomnožite 2 i -1.

$$x=-2-3$$

Dodaj -3 broju -2.

$$x=-5$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=-5,y=-1$$

Koraci korištenja matrica

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Oduzmite 6y od obiju strana.

$$3x+9-6y=0$$

Oduzmite 9 od obiju strana. Sve oduzeto od nule daje isti broj s negativnim predznakom.

$$3x-6y=-9$$

Pojednostavnite drugu jednadžbu. Dodajte 12 na obje strane. Sve plus nula jednako je sebi.

$$-2x-2y=12$$

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=-5,y=-1$$

Koraci korištenja eliminacije

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Oduzmite 6y od obiju strana.

$$3x+9-6y=0$$

Oduzmite 9 od obiju strana. Sve oduzeto od nule daje isti broj s negativnim predznakom.

$$3x-6y=-9$$

Pojednostavnite drugu jednadžbu. Dodajte 12 na obje strane. Sve plus nula jednako je sebi.

$$-2x-2y=12$$

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Da biste izjednačili 3x i -2x, pomnožite sve izraze s obje strane prve jednadžbe s -2 i sve izraze s obje strane druge jednadžbe s 3.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Pojednostavnite.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

Oduzmite -6x-6y=36 od -6x+12y=18 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

Dodaj -6x broju 6x. Uvjeti -6x i 6x se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$12y+6y=18-36$$

Dodaj 12y broju 6y.

$$18y=18-36$$

Dodaj 18 broju -36.

$$18y=-18$$

Podijelite obje strane sa 18.

$$y=-1$$

Supstituirajte -1 s y u izrazu -2x-2y=12. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

Pomnožite -2 i -1.

$$-2x+2=12$$

Oduzmite 2 od obiju strana jednadžbe.

$$-2x=10$$

Podijelite obje strane sa -2.

$$x=-5$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=-5,y=-1$$