Riješi 3x+2y=8text{and}5x-4y=6

$$3 x + 2 y = 8 \text { and } 5 x - 4 y = 6$$

Izračunaj x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Koraci korištenja supstitucije

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za x tako da izdvojite x s lijeve strane znaka jednakosti.

$$3x+2y=8$$

Oduzmite 2y od obiju strana jednadžbe.

$$3x=-2y+8$$

Podijelite obje strane sa 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+8\right)$$

Pomnožite \frac{1}{3} i -2y+8.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

Supstituirajte \frac{-2y+8}{3} s x u drugoj jednadžbi, 5x-4y=6.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)-4y=6$$

Pomnožite 5 i \frac{-2y+8}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}-4y=6$$

Dodaj -\frac{10y}{3} broju -4y.

$$-\frac{22}{3}y+\frac{40}{3}=6$$

Oduzmite \frac{40}{3} od obiju strana jednadžbe.

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{22}{3}$$

Podijelite obje strane jednadžbe s -\frac{22}{3}, što je isto kao da pomnožite obje strane recipročnim razlomkom.

$$y=1$$

Supstituirajte 1 s y u izrazu x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$x=\frac{-2+8}{3}$$

Dodajte \frac{8}{3} broju -\frac{2}{3} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x=2$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=2,y=1$$

Koraci korištenja matrica

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 8+\frac{1}{11}\times 6\\\frac{5}{22}\times 8-\frac{3}{22}\times 6\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=2,y=1$$

Koraci korištenja eliminacije

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Da biste izjednačili 3x i 5x, pomnožite sve izraze s obje strane prve jednadžbe s 5 i sve izraze s obje strane druge jednadžbe s 3.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 8,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 6$$

Pojednostavnite.

$$15x+10y=40,15x-12y=18$$

Oduzmite 15x-12y=18 od 15x+10y=40 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$15x-15x+10y+12y=40-18$$

Dodaj 15x broju -15x. Uvjeti 15x i -15x se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$10y+12y=40-18$$

Dodaj 10y broju 12y.

$$22y=40-18$$

Dodaj 40 broju -18.

$$22y=22$$

Podijelite obje strane sa 22.

$$y=1$$

Supstituirajte 1 s y u izrazu 5x-4y=6. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$5x-4=6$$

Dodajte 4 objema stranama jednadžbe.

$$5x=10$$

Podijelite obje strane sa 5.

$$x=2$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=2,y=1$$