Riješi 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

Izračunaj n

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$n=3$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore pomoću grupiranja

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao 3n^{2}+an+bn-15. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji će biti riješiti.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

Budući da je ab negativan, a i b suprotnu znakovi. Budući da je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivne vrijednosti. Navedi sve kao cijeli broj koji daje -45 proizvoda.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

Rješenje je par koji daje zbroj -4.

$$a=-9 b=5$$

Izrazite 3n^{2}-4n-15 kao \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right).

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

Faktor 3n u prvom i 5 u drugoj grupi.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

Faktor uobičajeni termin n-3 korištenjem distribucije svojstva.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite n-3=0 i 3n+5=0.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 3 s a, -4 s b i -15 s c.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrirajte -4.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 i -15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

Dodaj 16 broju 180.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 196.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

Broj suprotan broju -4 jest 4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

Sada riješite jednadžbu n=\frac{4±14}{6} kad je ± plus. Dodaj 4 broju 14.

$$n=\frac{18}{6}$$

Podijelite 18 s 6.

$$n=3$$

Sada riješite jednadžbu n=\frac{4±14}{6} kad je ± minus. Oduzmite 14 od 4.

$$n=-\frac{10}{6}$$

Skratite razlomak \frac{-10}{6} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 2.

$$n=-\frac{5}{3}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Koraci za računanje kvadrata

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Dodajte 15 objema stranama jednadžbe.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Oduzimanje -15 samog od sebe dobiva se 0.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

Oduzmite -15 od 0.

$$3n^{2}-4n=15$$

Podijelite obje strane sa 3.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

Dijeljenjem s 3 poništava se množenje s 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

Podijelite 15 s 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

Podijelite -\frac{4}{3}, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili -\frac{2}{3}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte -\frac{2}{3} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kvadrirajte -\frac{2}{3} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Dodaj 5 broju \frac{4}{9}.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktor n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}. Općenito, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uzeti u obzir kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Pojednostavnite.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Dodajte \frac{2}{3} objema stranama jednadžbe.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$